Verifique se a matriz D=(cc7 & -3 -14 & -26) pode ser escrita como combinação linear das matrizes A=(ll1 & 1 1 & 1), B=(cc-1 & 2 5 & 7), C=(ll2 & 6 8 & 0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a matriz 7 & -3 -14 & -26 pode ser escrita como uma combinação linear das matrizes D = xA + yB + zC , e . Isso está ligado ao conteúdo de combinação linear em álgebra linear. Para resolver, vamos precisar encontrar se existem números , e tais que:

Passo 2

Primeiro, vamos escrever isso de forma mais detalhada substituindo as matrizes:
7 & -3 -14 & -26 = x 1 & 1 1 & 1 + y -1 & 2 5 & 7 + z 2 & 6 8 & 0
Isso significa que cada posição na matriz deve ser igual à combinação das correspondentes posições em , e .

Passo 3

Vamos expandir essa igualdade para cada elemento das matrizes:
7 = x(1) + y(-1) + z(2) -3 = x(1) + y(2) + z(6) -14 = x(1) + y(5) + z(8) -26 = x(1) + y(7) + z(0)
Agora temos um sistema de equações lineares com três incógnitas: , e .

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da última equação:
-26 = x + 7y
Podemos isolar x = -26 - 7y (Equação 1) :
çã

Passo 5

Agora, vamos substituir 7 = (-26 - 7y)(1) + y(-1) + z(2) 7 = -26 - 7y - y + 2z 7 + 26 = -8y + 2z 33 = -8y + 2z (Equação 2) da Equação 1 nas outras equações.
Na primeira equação:
çã

Passo 6

Na segunda equação:
-3 = (-26 - 7y)(1) + y(2) + z(6) -3 = -26 - 7y + 2y + 6z -3 + 26 = -5y + 6z 23 = -5y + 6z (Equação 3) çã

Passo 7

Agora temos duas equações com duas incógnitas:
33 = -8y + 2z 23 = -5y + 6z
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a Equação 2 por 3 e a Equação 3 por 1 para facilitar a eliminação:
99 = -24y + 6z 23 = -5y + 6z
Subtraindo a segunda da primeira:
99 - 23 = (-24y + 6z) - (-5y + 6z) 76 = -19y y = 76-19 y = -4

Passo 8

Agora que temos x = -26 - 7(-4) x = -26 + 28 x = 2 , vamos substituir na Equação 1 para achar :

Passo 9

Por fim, substituímos 33 = -8(-4) + 2z 33 = 32 + 2z 33 - 32 = 2z 1 = 2z z = 12 na Equação 2 para encontrar :

Resposta

Sim, a matriz D = 2A - 4B + 12C pode ser escrita como combinação linear das matrizes , e com , e . Ou seja:

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