Sejam um trapézio tal que e o ponto de encontro dos segmentos de reta e . Exprima como combinação linear de e .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um trapézio onde o lado é o dobro do lado ( ). O ponto é onde as diagonais e se encontram. Nosso objetivo é expressar o vetor como uma combinação linear dos vetores e . Para isso, vamos usar conceitos de vetores e propriedades dos trapézios.

Passo 2

Vamos começar representando os vetores no trapézio. Como é um trapézio, sabemos que é paralelo a . Vamos assumir que está na origem para simplificar os cálculos, ou seja, .
Então, podemos expressar os pontos da seguinte forma:
Como , podemos dizer que . Portanto, .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as equações das diagonais e .
A diagonal vai de a , então qualquer ponto nessa diagonal pode ser representado como:
onde varia de 0 a 1.
A diagonal vai de a , então qualquer ponto nessa diagonal pode ser representado como:
onde também varia de 0 a 1.

Passo 4

O ponto é a interseção dessas duas diagonais, então podemos igualar as duas expressões para encontrar os parâmetros e .
Isso nos dá um sistema de equações vetoriais. Igualando os coeficientes de e , temos:

Passo 5

Agora, substituímos na segunda equação:
Resolvendo para :
Então, .

Passo 6

Agora que temos e , podemos encontrar .

Resposta

Portanto, o vetor pode ser expresso como uma combinação linear de e da seguinte forma:

Exercícios relacionados

Determine o ponto que divide o segmento em que e em dois segmentos proporcionais a quatro e três e sendo maior que .
Suponha que e , quais são os possíveis valores para , sabendo que a distância entre e é ?
Dadas as bases e , e as relações
quais as coordenadas do vetor na base ?
a)
b)
c)
d)
e)
Sabendo que e que e formam ângulo de rad, determinar
a)
b)