Sejam um trapézio tal que e X o ponto de encontro dos segmentos de reta A C e B D. Exprima A X como combinação linear de A D e A B.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um trapézio onde o lado é o dobro do lado (). O ponto é onde as diagonais e se encontram. Nosso objetivo é expressar o vetor como uma combinação linear dos vetores e . Para isso, vamos usar conceitos de vetores e propriedades dos trapézios.
Passo 2
Vamos começar representando os vetores no trapézio. Como é um trapézio, sabemos que é paralelo a . Vamos assumir que está na origem para simplificar os cálculos, ou seja, .
Então, podemos expressar os pontos da seguinte forma:
Como , podemos dizer que . Portanto, .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as equações das diagonais AC = A + t(C - A) = t ( AD + 12 AB ) e BD = B + s(D - B) = AB + s ( AD - AB ) .
A diagonal vai de a , então qualquer ponto nessa diagonal pode ser representado como:
onde varia de 0 a 1.
A diagonal vai de a , então qualquer ponto nessa diagonal pode ser representado como:
onde também varia de 0 a 1.
Passo 4
O ponto t ( AD + 12 AB ) = AB + s ( AD - AB ) é a interseção dessas duas diagonais, então podemos igualar as duas expressões para encontrar os parâmetros t = s e t2 = 1 - s .
Isso nos dá um sistema de equações vetoriais. Igualando os coeficientes de e , temos:
Passo 5
Agora, substituímos s2 = 1 - s na segunda equação:
s2 + s = 1
Resolvendo para 3s2 = 1 :
s = 23
Então, .
Passo 6
Agora que temos AX = t ( AD + 12 AB ) = 23 AD + 23 cdot 12 AB e AX = 23 AD + 13 AB , podemos encontrar .
Resposta
Portanto, o vetor boxed AX = 23 AD + 13 AB pode ser expresso como uma combinação linear de e da seguinte forma: