Escreva a equação da elipse com centro na origem e tal que passa por
e
e tem reta focal o eixo
;
Passo 1
Vamos resumir o que a pergunta está pedindo: precisamos encontrar a equação de uma elipse que tem o centro na origem, passa pelos pontos
e
, e que tem o eixo focal ao longo do eixo
. Para isso, vamos usar a fórmula geral da elipse e algumas propriedades básicas das elipses.
Passo 2
Primeiro, lembramos que a equação geral de uma elipse centrada na origem com o eixo principal no eixo
é:
Aqui,
representa o semi-eixo maior (ao longo do eixo
) e
o semi-eixo menor (ao longo do eixo
).
Passo 3
Sabemos que a elipse passa pelos pontos
e
. Vamos substituir as coordenadas desses pontos na equação da elipse para obter duas equações:
Para o ponto
:
Para o ponto
:
Passo 4
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas (
e
):
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de
e
.
Passo 5
Para facilitar, vamos fazer uma substituição. Vamos chamar:
Com isso, o sistema fica:
Passo 6
Vamos resolver o sistema por eliminação. Subtraímos a segunda equação da primeira:
Passo 7
Agora, substituímos
na segunda equação do sistema original:
Passo 8
Com o valor de
, encontramos
:
Passo 9
Agora, voltamos às definições de
e
:
Resposta
A equação da elipse é:
Simplificando, podemos escrever: