Escreva a equação da elipse com centro na origem e tal que passa por e e tem reta focal o eixo ;
Passo 1
Vamos resumir o que a pergunta está pedindo: precisamos encontrar a equação de uma elipse que tem o centro na origem, passa pelos pontos e , e que tem o eixo focal ao longo do eixo . Para isso, vamos usar a fórmula geral da elipse e algumas propriedades básicas das elipses.
Passo 2
Primeiro, lembramos que a equação geral de uma elipse centrada na origem com o eixo principal no eixo é:
Aqui, representa o semi-eixo maior (ao longo do eixo ) e o semi-eixo menor (ao longo do eixo ).
Passo 3
Sabemos que a elipse passa pelos pontos e . Vamos substituir as coordenadas desses pontos na equação da elipse para obter duas equações:
Para o ponto :
Para o ponto :
Passo 4
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ( e ):
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de e .
Passo 5
Para facilitar, vamos fazer uma substituição. Vamos chamar:
Com isso, o sistema fica:
Passo 6
Vamos resolver o sistema por eliminação. Subtraímos a segunda equação da primeira:
Passo 7
Agora, substituímos na segunda equação do sistema original: