Escreva a equação da elipse com centro na origem e tal que passa por A=(3,2) e B=(1,4) e tem reta focal o eixo O y;

Passo 1

Vamos resumir o que a pergunta está pedindo: precisamos encontrar a equação de uma elipse que tem o centro na origem, passa pelos pontos e , e que tem o eixo focal ao longo do eixo . Para isso, vamos usar a fórmula geral da elipse e algumas propriedades básicas das elipses.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a equação geral de uma elipse centrada na origem com o eixo principal no eixo x^2b^2 + y^2a^2 = 1 é:
Aqui, representa o semi-eixo maior (ao longo do eixo ) e o semi-eixo menor (ao longo do eixo ).

Passo 3

Sabemos que a elipse passa pelos pontos 3^2b^2 + 2^2a^2 = 1 implies 9b^2 + 4a^2 = 1 e 1^2b^2 + 4^2a^2 = 1 implies 1b^2 + 16a^2 = 1 . Vamos substituir as coordenadas desses pontos na equação da elipse para obter duas equações:
Para o ponto :
Para o ponto :

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ( 9b^2 + 4a^2 = 1 1b^2 + 16a^2 = 1 e ):
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de e .

Passo 5

Para facilitar, vamos fazer uma substituição. Vamos chamar:
x = 1b^2 e y = 1a^2
Com isso, o sistema fica:
9x + 4y = 1 x + 16y = 1

Passo 6

Vamos resolver o sistema por eliminação. Subtraímos a segunda equação da primeira:
9x + 4y - (x + 16y) = 1 - 1 8x - 12y = 0 8x = 12y x = 128y x = 32y

Passo 7

Agora, substituímos 32y + 16y = 1 32y + 322y = 1 352y = 1 y = 235 na segunda equação do sistema original:

Passo 8

Com o valor de x = 32 times 235 = 335 , encontramos :

Passo 9

Agora, voltamos às definições de x = 1b^2 implies 335 = 1b^2 implies b^2 = 353 e y = 1a^2 implies 235 = 1a^2 implies a^2 = 352 :

Resposta

A equação da elipse é:
x^2353 + y^2352 = 1
Simplificando, podemos escrever:
3x^2 + 2y^2 = 35

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Escreva a equação reduzida da elipse, dados os focos (0, pm 6) e a=17;
Resolva as equações:
|lll2 & 4 & 1 2 & 4 & x 3 & 1 & 2|=0
Resolva as equações:
|rrr2 & 3 & -2 0 & 1 & x 2 & x & -3|=2