Verifique a posição relativa entre as retas: r: ly=2 x-3 z=-x lx=-t y=4-t z=2+2 t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar a posição relativa entre duas retas no espaço 3D. Isso significa que queremos descobrir se as retas são paralelas, concorrentes (ou seja, se elas se cruzam em um ponto) ou skew (retas que não são paralelas e não se cruzam).
Para resolver isso, vamos precisar:
  • Entender as equações das retas.
  • Usar conceitos de geometria analítica no espaço.
  • Resolver um sistema de equações para verificar se as retas se intersectam.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações das duas retas.
A reta r é dada por:
y = 2x - 3 z = -x
Parece que falta uma variável livre aqui, então vamos reescrever a reta r de forma parametrizada. Vamos escolher x = t y = 2t - 3 z = -t como parâmetro. Assim, temos:
r(t) = (t, 2t - 3, -t)
Então, a reta r pode ser representada por:
x = -t y = 4 - t z = 2 + 2t
A reta s é dada por:
s(t) = (-t, 4 - t, 2 + 2t)
Ou seja, a reta s pode ser representada por:

Passo 3

Agora que temos as equações paramétricas das duas retas, vamos verificar se elas se intersectam. Para isso, precisamos encontrar valores de t = -t' 2t - 3 = 4 - t' -t = 2 + 2t' (para cada reta) que satisfaçam as três equações simultaneamente:
Onde é o parâmetro da reta r e é o parâmetro da reta s.

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, da primeira equação:
t = -t'
Podemos substituir 2t - 3 = 4 - (-t) 2t - 3 = 4 + t 2t - t = 4 + 3 t = 7 nas outras equações.
Substituindo na segunda equação:
t' = -7
Agora, substituindo na expressão :

Passo 5

Vamos verificar se esses valores satisfazem a terceira equação:
-t = 2 + 2t' -7 = 2 + 2(-7) -7 = 2 - 14 -7 = -12
Isso não é verdade. Portanto, não há valores de e que satisfaçam todas as três equações simultaneamente.

Passo 6

Como não encontramos um ponto comum onde as duas retas se cruzam, isso significa que elas não são concorrentes. Também, observando que os vetores diretores das retas são diferentes e não são múltiplos um do outro, concluímos que as retas não são paralelas.

Resposta

As retas são skew, ou seja, não são paralelas e não se intersectam.

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