Dadas duas proposições simples e , determine quais das proposições abaixo são verdadeiras, independentemente do valor verdade das proposições e :
c)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos duas proposições simples, e , e queremos descobrir se a proposição é sempre verdadeira, não importando se e são verdadeiras ou falsas. Isso está dentro da matéria de lógica proposicional, especificamente trabalhando com implicações e negações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que cada símbolo representa:
  • : "Se , então ".
  • : "Não ".
  • : “E”.
  • : “Implica”.
Nossa meta é verificar se é sempre verdadeira.

Passo 3

Para isso, vamos analisar todas as possíveis combinações de verdade para e . Como são duas proposições simples, temos 4 casos:
  1. é verdadeira e é verdadeira.
  2. é verdadeira e é falsa.
  3. é falsa e é verdadeira.
  4. é falsa e é falsa.

Passo 4

Vamos calcular cada parte da proposição para cada caso.
Caso 1: ,
  • é porque se é verdadeira e também, a implicação é verdadeira.
  • .
  • Então, .
  • Agora, . Qualquer coisa que implica algo é sempre , então .
Caso 2: ,
  • é porque uma verdade implica uma falsidade, o que faz a implicação falsa.
  • .
  • Então, .
  • Agora, . Novamente, qualquer coisa é .
Caso 3: ,
  • é porque uma falsidade implica qualquer coisa, que por definição é verdadeira.
  • .
  • Então, .
  • Agora, . Como , temos .
Caso 4: ,
  • é porque uma falsidade implica qualquer coisa.
  • .
  • Então, .
  • Agora, . Como , temos .

Passo 5

Agora, vamos resumir os resultados:
  1. Caso 1:
  2. Caso 2:
  3. Caso 3:
  4. Caso 4:
Vemos que há pelo menos um caso onde a proposição é falsa (Caso 3).

Resposta

A proposição não é verdadeira independentemente dos valores de e , pois existe um caso onde ela é falsa.

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b)
Dadas duas proposições simples e , determine quais das proposições abaixo são verdadeiras, independentemente do valor verdade das proposições e :
a)
Dadas duas proposições simples e , considere as proposições abaixo e reescreva cada uma delas usando somente os conectivos indicados:
d) , usando
Dadas duas proposições simples e , determine quais das proposições abaixo são verdadeiras, independentemente do valor verdade das proposições e :
d)