Dadas duas proposições simples
e
, determine quais das proposições abaixo são verdadeiras, independentemente do valor verdade das proposições
e
:
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a proposição
sempre é verdadeira, independentemente dos valores de verdade de
e
. Estamos lidando com lógica proposicional aqui. Para resolver isso, vamos analisar todas as possíveis combinações de verdade para
e
e ver se a proposição final sempre resulta em verdadeiro.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que cada símbolo significa:
-
é uma implicação que significa "se então ". -
é a negação de , ou seja, "não ". -
é o “e”, que exige que ambas as proposições sejam verdadeiras. -
novamente é uma implicação.
Nosso objetivo é verificar se
é sempre verdadeira.
Passo 3
Vamos criar uma tabela verdade para todas as combinações possíveis de
e
. Temos duas proposições simples, então há 4 combinações:
-
verdadeiro e verdadeiro -
verdadeiro e falso -
falso e verdadeiro -
falso e falso
Passo 4
Agora, vamos preencher a tabela passo a passo:
|
|
|
|
|
|
|
---|---|---|---|---|---|---|
V | V | V | F | F | F | V |
V | F | F | V | F | F | V |
F | V | V | F | F | V | V |
F | F | V | V | V | V | V |
Passo 5
Vamos explicar cada coluna:
-
: a implicação só é falsa quando é verdadeiro e é falso. -
: negação de , simplesmente troca verdadeiro por falso e vice-versa. -
: “e” lógico, verdadeiro somente se ambas as proposições forem verdadeiras. -
: negação de . -
: a implicação final que estamos testando.
Passo 6
Analisando a última coluna, que é a nossa proposição principal, vemos que em todas as linhas ela resulta em verdadeiro (V). Isso significa que, independente dos valores de
e
, a proposição
sempre é verdadeira.
Resposta
A proposição
é sempre verdadeira, independentemente dos valores de
e
.
Exercícios relacionados
Dadas duas proposições simples
e
, considere as proposições abaixo e reescreva cada uma delas usando somente os conectivos indicados:
d) , usando
d)
Dadas duas proposições simples
e
, determine quais das proposições abaixo são verdadeiras, independentemente do valor verdade das proposições
e
:
c)
c)
Dadas duas proposições simples
e
, considere as proposições abaixo e reescreva cada uma delas usando somente os conectivos indicados:
c) , usando
c)
Interprete cada proposição abaixo (isto é, escreva em linguagem natural) e determine seu valor-verdade. O universo de discurso é o conjunto dos números naturais.
c)
c)