Dadas duas proposições simples p e q, determine quais das proposições abaixo são verdadeiras, independentemente do valor verdade das proposições p e q : ((p => q) ^ q) => p

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para analisar a proposição lógica ((p => q) ^ q) => p. Nosso objetivo é descobrir se essa proposição é sempre verdadeira, independentemente de como p e q se comportam. Isso faz parte da matéria de lógica proposicional, onde trabalhamos com operações lógicas e suas relações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os símbolos:
  • p e q são proposições simples, que podem ser verdadeiras (V) ou falsas (F).
  • significa “implica”, ou seja, p => q significa "se p então q".
  • e significa “e”, então significa "( p implica q) e q".

Passo 3

Para determinar se a proposição toda ((p => q) ^ q) => p é sempre verdadeira, vamos montar uma tabela verdade. Isso significa que vamos considerar todas as combinações possíveis de valores para p e q e ver o resultado da proposição em cada caso.
p q p => q ((p => q) ^ q) => p
V V V V V
V F F F V
F V V V F
F F V F V

Passo 4

Vamos analisar cada linha:
  1. p V, q V:
    • p => q é V (porque V implica V é V).
    • é V (V e V é V).
    • ((p => q) ^ q) => p é V (V implica V é V).
  2. p V, q F:
    • p => q é F (V implica F é F).
    • é F (F e F é F).
    • ((p => q) ^ q) => p é V (F implica V é V).
  3. p F, q V:
    • p => q é V (F implica V é V).
    • é V (V e V é V).
    • ((p => q) ^ q) => p é F (V implica F é F).
  4. p F, q F:
    • p => q é V (F implica F é V).
    • é F (V e F é F).
    • ((p => q) ^ q) => p é V (F implica F é V).

Passo 5

Observando a tabela, vemos que a proposição ((p => q) ^ q) => p é verdadeira em todos os casos, exceto quando p é falso e q é verdadeiro. Isso significa que ela não é sempre verdadeira; há uma situação específica em que a proposição é falsa.

Resposta

A proposição ((p => q) ^ q) => p não é sempre verdadeira, pois há casos em que ela resulta em falso.

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