encontre uma representação em série de potências para as funções abaixo, assim como seu intervalo de convergência
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a série de potências que foi apresentada:
O objetivo aqui é encontrar uma representação em série de potências para a função e determinar o intervalo de convergência dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na função que queremos expandir: . A gente quer reescrever essa função de uma forma que se pareça com a série que conhecemos, ou seja, algo parecido com , onde é uma expressão que envolve .
Passo 3
Vamos manipular a função para ficar no formato . Para isso, podemos fatorar o denominador:
Agora, temos:
Passo 4
Agora, vamos reescrever de uma maneira que se encaixe na série geométrica. Queremos ter algo na forma . Então, fatoramos o 5:
Portanto:
Passo 5
Agora, podemos aplicar a série de potências que conhecemos para . Substituindo por , temos:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na expressão original:
Passo 7
Por fim, determinamos o intervalo de convergência da série. A série geométrica converge quando o valor absoluto da razão é menor que 1: