Usando a série de potências
encontre uma representação em série de potências para as funções abaixo, assim como seu intervalo de convergência

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a série de potências que foi apresentada:
O objetivo aqui é encontrar uma representação em série de potências para a função e determinar o intervalo de convergência dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função que queremos expandir: . A gente quer reescrever essa função de uma forma que se pareça com a série que conhecemos, ou seja, algo parecido com , onde é uma expressão que envolve .

Passo 3

Vamos manipular a função para ficar no formato . Para isso, podemos fatorar o denominador:
Agora, temos:

Passo 4

Agora, vamos reescrever de uma maneira que se encaixe na série geométrica. Queremos ter algo na forma . Então, fatoramos o 5:
Portanto:

Passo 5

Agora, podemos aplicar a série de potências que conhecemos para . Substituindo por , temos:

Passo 6

Agora, substituímos de volta na expressão original:

Passo 7

Por fim, determinamos o intervalo de convergência da série. A série geométrica converge quando o valor absoluto da razão é menor que 1:

Resposta

A representação em série de potências para é:

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Dadas duas proposições simples e , determine quais das proposições abaixo são verdadeiras, independentemente do valor verdade das proposições e :
Desenhe o conjunto dado e calcule a área: A é o conjunto limitado pelas retas , pelo eixo e pelo gráfico de .
A função de Bessel é dada pela série .
Mostre que ela está definida para todo , mostrando que o raio de convergência da série é .
Usando a série de potências
encontre uma representação em série de potências para as funções abaixo, assim como seu intervalo de convergência