Usando a série de potências
11-x=sumn=0^infty x^n=1+x+x^2+x^3+ldots,|x|<1
encontre uma representação em série de potências para as funções abaixo, assim como seu intervalo de convergência
1x-5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a série de potências que foi apresentada:
11-x = sumn=0^infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + ldots, |x| < 1
O objetivo aqui é encontrar uma representação em série de potências para a função 1x-5 e determinar o intervalo de convergência dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função que queremos expandir: 1x-5. A gente quer reescrever essa função de uma forma que se pareça com a série que conhecemos, ou seja, algo parecido com 11 - u, onde u é uma expressão que envolve x.

Passo 3

Vamos manipular a função 1x-5 para ficar no formato 11 - u. Para isso, podemos fatorar o denominador:
1x - 5 = 1-5 + x = -15 - x
Agora, temos:
1x - 5 = -15 - x

Passo 4

Agora, vamos reescrever 5 - x de uma maneira que se encaixe na série geométrica. Queremos ter algo na forma 1 - (algo). Então, fatoramos o 5:
15 - x = 15(1 - x5) = 15 cdot 11 - x5
Portanto:
1x - 5 = -15 cdot 11 - x5

Passo 5

Agora, podemos aplicar a série de potências que conhecemos para 11 - u. Substituindo u por x5, temos:
11 - x5 = sumn=0^infty (x5)^n = 1 + x5 + (x5)^2 + (x5)^3 + ldots

Passo 6

Agora, substituímos de volta na expressão original:
1x - 5 = -15 cdot sumn=0^infty (x5)^n = -sumn=0^infty x^n5^n+1

Passo 7

Por fim, determinamos o intervalo de convergência da série. A série geométrica converge quando o valor absoluto da razão é menor que 1:
| x5 | < 1 implies |x| < 5

Resposta

A representação em série de potências para 1x -5 é:
1x -5 = -15 sumn=0^infty (x5)^n, para |x| < 5

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