A função de Bessel é dada pela série .
Mostre que ela está definida para todo , mostrando que o raio de convergência da série é .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função de Bessel definida por uma série infinita:
O desafio é mostrar que essa série converge para qualquer número real , ou seja, que o raio de convergência é infinito. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar o raio de convergência de séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como funciona o Teste da Razão. Ele diz que, para uma série , calculamos o limite:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo. No caso de séries de potência como a nossa, isso ajuda a encontrar o raio de convergência.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série de Bessel. Primeiro, identifiquemos :
Agora, vamos calcular :
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos formar a razão :
Simplificando os termos:
Passo 5
Vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Porque cresce sem limite, então vai para 0.
Passo 6
Como para todo , isso significa que a série converge para qualquer valor real de . Portanto, o raio de convergência é infinito.
Resposta
O raio de convergência da série é , ou seja, a função de Bessel está definida para todo .