A função de Bessel é dada pela série .
Mostre que ela está definida para todo , mostrando que o raio de convergência da série é .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função de Bessel definida por uma série infinita:
O desafio é mostrar que essa série converge para qualquer número real , ou seja, que o raio de convergência é infinito. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar o raio de convergência de séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como funciona o Teste da Razão. Ele diz que, para uma série , calculamos o limite:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo. No caso de séries de potência como a nossa, isso ajuda a encontrar o raio de convergência.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série de Bessel. Primeiro, identifiquemos an = (-1)^n x^2n2^2n(n!)^2 :