A função de Bessel é dada pela série J0(x)=sumn=0^infty (-1)^n x^2 n2^2 n(n!)^2.
Mostre que ela está definida para todo x in R, mostrando que o raio de convergência da série é R=infty.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função de Bessel J0(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n2^2n(n!)^2 definida por uma série infinita:
O desafio é mostrar que essa série converge para qualquer número real , ou seja, que o raio de convergência é infinito. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar o raio de convergência de séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como funciona o Teste da Razão. Ele diz que, para uma série L = limn to infty | an+1an | , calculamos o limite:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo. No caso de séries de potência como a nossa, isso ajuda a encontrar o raio de convergência.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série de Bessel. Primeiro, identifiquemos an = (-1)^n x^2n2^2n(n!)^2 :
an+1 = (-1)^n+1 x^2(n+1)2^2(n+1)((n+1)!)^2
Agora, vamos calcular an+1 = (-1)^n+1 x^2n+22^2n+2(n+1)^2(n!)^2 :
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos formar a razão | an+1an | = | (-1)^n+1 x^2n+22^2n+2(n+1)^2(n!)^2 cdot 2^2n(n!)^2(-1)^n x^2n | :
Simplificando os termos:
= | x^2 2^2 (n+1)^2 | = x^2 4 (n+1)^2

Passo 5

Vamos calcular o limite quando L = limn to infty x^2 4 (n+1)^2 = 0 tende ao infinito:
Porque cresce sem limite, então vai para 0.

Passo 6

Como para todo , isso significa que a série converge para qualquer valor real de . Portanto, o raio de convergência é infinito.

Resposta

O raio de convergência da série é , ou seja, a função de Bessel está definida para todo .

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