(2.0) Dadas as equações abaixo, verifique quais são as
exatas e resolva.
.
b)
b)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas equações diferenciais ordinárias (EDOs) e precisamos verificar quais delas são exatas. Se uma equação for exata, podemos encontrar uma solução integrando adequadamente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre equações diferenciais exatas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma EDO ser exata. Uma equação na forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Se essa condição for satisfeita, podemos encontrar uma função potencial
tal que
, e assim resolver a EDO.
Passo 3
Vamos analisar a equação a):
Aqui, identificamos:
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais necessárias:
Percebemos que
, então a equação a) é exata.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a solução da equação a). Para isso, integramos
em relação a
:
Integrando termo a termo:
Então:
Onde
é uma função de
que será determinada.
Passo 6
Para encontrar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Comparando os termos:
Simplificando, vemos que:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Assim, a função potencial
é:
Como
, podemos escrever a solução geral da equação a):
Passo 8
Agora, vamos analisar a equação b):
Identificamos:
Passo 9
Calculamos as derivadas parciais:
Aqui,
, pois:
Portanto, a equação b) não é exata.
Resposta
Apenas a equação a) é exata e sua solução geral é:
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