(2.0) Dadas as equações abaixo, verifique quais são as exatas e resolva.
.
b)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas equações diferenciais ordinárias (EDOs) e precisamos verificar quais delas são exatas. Se uma equação for exata, podemos encontrar uma solução integrando adequadamente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre equações diferenciais exatas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma EDO ser exata. Uma equação na forma é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a , ou seja, . Se essa condição for satisfeita, podemos encontrar uma função potencial tal que , e assim resolver a EDO.

Passo 3

Vamos analisar a equação a):
Aqui, identificamos:

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais necessárias:
Percebemos que , então a equação a) é exata.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a solução da equação a). Para isso, integramos em relação a :
Integrando termo a termo:
Então:
Onde é uma função de que será determinada.

Passo 6

Para encontrar , derivamos em relação a e igualamos a :
Comparando os termos:
Simplificando, vemos que:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Assim, a função potencial é:
Como , podemos escrever a solução geral da equação a):

Passo 8

Agora, vamos analisar a equação b):
Identificamos:

Passo 9

Calculamos as derivadas parciais:
Aqui, , pois:
Portanto, a equação b) não é exata.

Resposta

Apenas a equação a) é exata e sua solução geral é:

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