(3.0) Resolva as equações diferenciais:
Equação de Bernoulli

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é da chamada Equação de Bernoulli. A equação que temos é:
Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais, especialmente a Equação de Bernoulli, que tem a forma geral:
Nessa forma, e são funções de , e é um número real. Nosso objetivo aqui é transformar a equação dada nessa forma para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação dada para que fique mais parecida com a forma padrão da Equação de Bernoulli. Dividindo todos os termos por , temos:
Agora, podemos identificar os termos com a forma padrão:

Passo 3

Para resolver uma Equação de Bernoulli, fazemos uma substituição que transforma a equação em uma equação linear. A substituição que usamos é:
No nosso caso, como :
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a . Usando a regra da cadeia:
Isso pode ser reescrito como:

Passo 4

Substituindo na equação original, temos:
Dividindo todos os termos por :
Lembrando que , substituímos:
Multiplicando todos os termos por -1 para simplificar:

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial linear em :
onde:
Para resolver isso, usamos o fator integrante , que é dado por:

Passo 6

Multiplicamos toda a equação por :
Simplificando:
A esquerda da equação agora é a derivada do produto :

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:
onde é a constante de integração.

Passo 8

Resolvendo para :
Lembrando que , temos:
Invertendo ambos os lados para encontrar :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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.
b)
(3.0) Resolva as equações diferenciais:
Redutível à variáveis separáveis