(3.0) Resolva as equações diferenciais:
Equação de Bernoulli
Equação de Bernoulli
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é da chamada Equação de Bernoulli. A equação que temos é:
Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais, especialmente a Equação de Bernoulli, que tem a forma geral:
Nessa forma,
e
são funções de
, e
é um número real. Nosso objetivo aqui é transformar a equação dada nessa forma para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação dada para que fique mais parecida com a forma padrão da Equação de Bernoulli. Dividindo todos os termos por
, temos:
Agora, podemos identificar os termos com a forma padrão:
Passo 3
Para resolver uma Equação de Bernoulli, fazemos uma substituição que transforma a equação em uma equação linear. A substituição que usamos é:
No nosso caso, como
:
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
. Usando a regra da cadeia:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 4
Substituindo
na equação original, temos:
Dividindo todos os termos por
:
Lembrando que
, substituímos:
Multiplicando todos os termos por -1 para simplificar:
Passo 5
Agora, temos uma equação diferencial linear em
:
onde:
Para resolver isso, usamos o fator integrante
, que é dado por:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação por
:
Simplificando:
A esquerda da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
onde
é a constante de integração.
Passo 8
Resolvendo para
:
Lembrando que
, temos:
Invertendo ambos os lados para encontrar
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.
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exatas e resolva.
.
b)
b)
(3.0) Resolva as equações diferenciais:
Redutível à variáveis separáveis
Redutível à variáveis separáveis