(2.0) Resolva o Problema de Valor Inicial (PVI),
y' + 2/x * y = cos(x)/x^2, y(pi) = 0, x > 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o seguinte Problema de Valor Inicial (PVI):
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante. Esse método vai nos ajudar a encontrar uma solução geral para a equação.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos os termos da equação na forma padrão:
Comparando com a nossa equação:

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante, que é dado por:
Substituindo :
Explicando: Integramos em relação a , o que dá . Exponenciando isso, obtemos .

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto . Ou seja:
Isso facilita, porque agora podemos integrar ambos os lados em relação a :

Passo 6

Realizando as integrações:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, isolamos :

Passo 8

Por fim, aplicamos a condição inicial :

Resposta

A solução do PVI é:

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