Dadas as equações, determine d yd x.
sen(x y)+cos (y)=x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem a equação sin(x y) + cos(y) = x^2 e precisa descobrir qual é a derivada de y em relação a x, ou seja, dydx. Esse tipo de problema faz parte de cálculo, especificamente de diferenciação implícita. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação para funções compostas e lembrar como derivar funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x. Isso significa que vamos aplicar a derivada em cada termo:
ddx [ sin(x y) + cos(y) ] = ddx [ x^2 ]

Passo 3

Vamos derivar cada termo separadamente. Começando com sin(x y), usamos a regra da cadeia. A derivada de sin(u) é cos(u) cdot dudx. Aqui, u = x y, então:
ddx sin(x y) = cos(x y) cdot ddx(x y)

Passo 4

Agora, precisamos derivar x y em relação a x. Aplicamos a regra do produto, que diz que a derivada de u v é u' v + u v'. Aqui, u = x e v = y, então:
ddx(x y) = ddx(x) cdot y + x cdot ddx(y) = 1 cdot y + x cdot dydx = y + x dydx

Passo 5

Voltando à derivada de sin(x y):
ddx sin(x y) = cos(x y) cdot (y + x dydx)
Agora, derivamos cos(y). A derivada de cos(u) é - sin(u) cdot dudx. Aqui, u = y, então:
ddx cos(y) = -sin(y) cdot dydx

Passo 6

Derivando o lado direito x^2:
ddx x^2 = 2x

Passo 7

Agora, reunimos todas as derivadas na equação:
cos(x y) cdot (y + x dydx) - sin(y) cdot dydx = 2x

Passo 8

Vamos distribuir a cos(x y):
cos(x y) cdot y + cos(x y) cdot x dydx - sin(y) cdot dydx = 2x

Passo 9

Agora, vamos agrupar os termos que contêm dydx:
cos(x y) cdot y + ( cos(x y) cdot x - sin(y) ) dydx = 2x

Passo 10

Isolamos dydx:
( cos(x y) cdot x - sin(y) ) dydx = 2x - cos(x y) cdot y

Passo 11

Finalmente, resolvemos para dydx dividindo ambos os lados pela expressão que multiplica dydx:
dydx = 2x - cos(x y) cdot ycos(x y) cdot x - sin(y)

Resposta

dydx = 2x - y, cos(x y)x, cos(x y) - sin(y)

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