Determine os intervalos onde a função é côncava para cima e côncava para baixo.
g(x)=x^44-2 x^3+6 x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar os intervalos onde a função é côncava para cima e côncava para baixo. Isso está relacionado ao estudo da concavidade das funções, que envolve derivadas. Vamos precisar calcular a segunda derivada da função para descobrir esses intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função g(x) = x^44 - 2x^3 + 6x^2 . A primeira derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, sua inclinação.
A função é:
g'(x) = ddx( x^44 ) - ddx( 2x^3 ) + ddx( 6x^2 )
Calculando a primeira derivada:
g'(x) = 4x^34 - 6x^2 + 12x
g'(x) = x^3 - 6x^2 + 12x

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada da função g'(x) = x^3 - 6x^2 + 12x . A segunda derivada nos ajuda a determinar a concavidade da função.
A primeira derivada que encontramos foi:
g''(x) = ddx( x^3 ) - ddx( 6x^2 ) + ddx( 12x )
Calculando a segunda derivada:
g''(x) = 3x^2 - 12x + 12

Passo 4

Para determinar onde a função é côncava para cima ou para baixo, precisamos analisar o sinal da segunda derivada g''(x) = 3x^2 - 12x + 12 .
Temos:
3x^2 - 12x + 12 = 0
Vamos resolver a inequação x^2 - 4x + 4 = 0 e x = 4 pm raiz(-4)^2 - 4 cdot 1 cdot 42 cdot 1 para encontrar os intervalos de concavidade.
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo x = 4 pm raiz16 - 162 :
x = 4 pm 02
Dividindo toda a equação por 3:
x = 2
Essa é uma equação quadrática, cuja solução é:
Então, o único ponto crítico é .

Passo 5

Agora, vamos analisar o sinal de g''(0) = 3(0)^2 - 12(0) + 12 = 12 nos intervalos determinados pelo ponto crítico g''(3) = 3(3)^2 - 12(3) + 12 = 27 - 36 + 12 = 3 :
  1. Intervalo :
    Escolha um valor, por exemplo, :
    Como , nesse intervalo.
  2. Intervalo :
    Escolha um valor, por exemplo, :
    Como , nesse intervalo.

Passo 6

Observamos que a segunda derivada é positiva em ambos os intervalos e . Isso significa que a função é côncava para cima nesses intervalos. Não há intervalos onde a função é côncava para baixo.

Resposta

A função é côncava para cima em todos os valores de , ou seja, nos intervalos e . Não há intervalos onde a função é côncava para baixo.

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