Determine os intervalos onde a função é côncava para cima e côncava para baixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar os intervalos onde a função
é côncava para cima e côncava para baixo. Isso está relacionado ao estudo da concavidade das funções, que envolve derivadas. Vamos precisar calcular a segunda derivada da função para descobrir esses intervalos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função
. A primeira derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, sua inclinação.
A função é:
Calculando a primeira derivada:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada da função
. A segunda derivada nos ajuda a determinar a concavidade da função.
A primeira derivada que encontramos foi:
Calculando a segunda derivada:
Passo 4
Para determinar onde a função é côncava para cima ou para baixo, precisamos analisar o sinal da segunda derivada
.
Temos:
Vamos resolver a inequação
e
para encontrar os intervalos de concavidade.
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo
:
Dividindo toda a equação por 3:
Essa é uma equação quadrática, cuja solução é:
Então, o único ponto crítico é
.
Passo 5
Agora, vamos analisar o sinal de
nos intervalos determinados pelo ponto crítico
:
-
Intervalo
:
Escolha um valor, por exemplo,: Como, nesse intervalo. -
Intervalo
:
Escolha um valor, por exemplo,: Como, nesse intervalo.
Passo 6
Observamos que a segunda derivada
é positiva em ambos os intervalos
e
. Isso significa que a função
é côncava para cima nesses intervalos. Não há intervalos onde a função é côncava para baixo.
Resposta
A função
é côncava para cima em todos os valores de
, ou seja, nos intervalos
e
. Não há intervalos onde a função é côncava para baixo.
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