Dadas as equações
e
, determine a derivada indicada.
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas equações envolvendo as variáveis
e
:
Nosso objetivo aqui é encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, vamos usar o método de diferenciação implícita, que nos ajuda a achar derivadas quando as variáveis estão todas misturadas nas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambas as equações em relação a
. Lembre-se que, ao fazer isso, tratamos
como constante se não depende de
, mas
e
podem depender de
, então suas derivadas não são nulas.
Vamos começar diferenciando
:
Calculando cada termo:
Ent��o, a equação derivada fica:
Passo 3
Agora, vamos diferenciar
em relação a
:
Como
é tratado como constante em relação a
, temos:
Então, a equação derivada fica:
Passo 4
Agora, temos um sistema de duas equações (1) e (2) com duas incógnitas:
e
. Vamos resolver esse sistema para encontrar
.
Primeiro, reescrevemos as equações:
Podemos resolver a equação (2) para
:
Passo 5
Agora, substituímos
da equação (2) na equação (1):
Agora, fatoramos
:
Passo 6
Isolamos
:
Simplificando a expressão no denominador:
Então,
Resposta
A derivada parcial de
em relação a
é: