Dadas as equações F(x, y, u, v)=0 e G(x, y, u, v)=0, determine a derivada indicada.
b) F(x, y, u, v)=x-u^2+v^2, G(x, y, u, v)=y-u v ; partial upartial x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas equações envolvendo as variáveis F(x, y, u, v) = x - u^2 + v^2 = 0 e G(x, y, u, v) = y - u v = 0 :
Nosso objetivo aqui é encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos usar o método de diferenciação implícita, que nos ajuda a achar derivadas quando as variáveis estão todas misturadas nas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambas as equações em relação a partial Fpartial x = partialpartial x(x) - partialpartial x(u^2) + partialpartial x(v^2) = 0 . Lembre-se que, ao fazer isso, tratamos partialpartial x(x) = 1 como constante se não depende de partialpartial x(u^2) = 2u cdot partial upartial x , mas partialpartial x(v^2) = 2v cdot partial vpartial x e 1 - 2u cdot partial upartial x + 2v cdot partial vpartial x = 0 (1) podem depender de , então suas derivadas não são nulas.
Vamos começar diferenciando :
Calculando cada termo:
Ent��o, a equação derivada fica:

Passo 3

Agora, vamos diferenciar partial Gpartial x = partialpartial x(y) - partialpartial x(u v) = 0 em relação a partialpartial x(y) = 0 :
partialpartial x(u v) = u cdot partial vpartial x + v cdot partial upartial x
Como 0 - ( u cdot partial vpartial x + v cdot partial upartial x ) = 0 (2) é tratado como constante em relação a -u cdot partial vpartial x - v cdot partial upartial x = 0 , temos:
Então, a equação derivada fica:

Passo 4

Agora, temos um sistema de duas equações (1) e (2) com duas incógnitas: 1 - 2u cdot partial upartial x + 2v cdot partial vpartial x = 0 (1) e -u cdot partial vpartial x - v cdot partial upartial x = 0 (2) . Vamos resolver esse sistema para encontrar -u cdot partial vpartial x = v cdot partial upartial x .
Primeiro, reescrevemos as equações:
partial vpartial x = -vu cdot partial upartial x
Podemos resolver a equação (2) para :

Passo 5

Agora, substituímos 1 - 2u cdot partial upartial x + 2v cdot ( -vu cdot partial upartial x ) = 0 da equação (2) na equação (1):
1 - 2u cdot partial upartial x - 2v^2u cdot partial upartial x = 0
1 - ( 2u + 2v^2u ) cdot partial upartial x = 0
Agora, fatoramos :

Passo 6

Isolamos ( 2u + 2v^2u ) cdot partial upartial x = 1 :
partial upartial x = 12u + 2v^2u
2u + 2v^2u = 2u^2 + 2v^2u = 2(u^2 + v^2)u
Simplificando a expressão no denominador:
partial upartial x = u2(u^2 + v^2)
Então,

Resposta

A derivada parcial de partial upartial x = u2(u^2 + v^2) em relação a é:

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