Use o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar os pontos críticos da função dada, sujeitos aos vínculos dados.
a) f(x, y) = 25 - x^2 - y^2 com vínculo x^2 + y^2 - 4y = 0í

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o método dos multiplicadores de Lagrange. A gente tem a função que queremos otimizar, mas com a condição . Ou seja, a gente quer encontrar os pontos críticos de que estão sobre essa restrição. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre como funciona o método de Lagrange e aplicar algumas derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a função de Lagrange. Ela combina a função que queremos otimizar com a restrição, multiplicada por um multiplicador, que geralmente chamamos de . A fórmula fica assim:
Onde . Então, substituindo, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a , e , e igualar a zero para achar os pontos críticos.
Primeiro, com relação a :
Segundo, com relação a :
Terceiro, com relação a :

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações que obtivemos:
Da primeira equação, temos duas possibilidades: ou .
Caso 1:
Substituindo na terceira equação:
Agora, voltando para a segunda equação com :
Para :
Para :
Caso 2:
Substituindo na segunda equação:
Isso não faz sentido, então não há solução nesse caso.

Resposta

Os pontos críticos são e .

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