Use o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar os pontos críticos da função dada, sujeitos aos vínculos dados.
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o método dos multiplicadores de Lagrange. A gente tem a função
que queremos otimizar, mas com a condição
. Ou seja, a gente quer encontrar os pontos críticos de
que estão sobre essa restrição. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre como funciona o método de Lagrange e aplicar algumas derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a função de Lagrange. Ela combina a função que queremos otimizar com a restrição, multiplicada por um multiplicador, que geralmente chamamos de
. A fórmula fica assim:
Onde
. Então, substituindo, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a
,
e
, e igualar a zero para achar os pontos críticos.
Primeiro, com relação a
:
Segundo, com relação a
:
Terceiro, com relação a
:
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações que obtivemos:
Da primeira equação, temos duas possibilidades:
ou
.
Caso 1:
Substituindo na terceira equação:
Agora, voltando para a segunda equação com
:
Para
:
Para
:
Caso 2:
Substituindo
na segunda equação:
Isso não faz sentido, então não há solução nesse caso.
Resposta
Os pontos críticos são
e
.