Escreva a equação da reta tangente à curva
no ponto
.
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação da reta tangente à curva definida por
no ponto
. Esse problema está relacionado a geometria analítica, especificamente a encontrar a reta tangente a uma curva implícita. Para resolver isso, vamos precisar usar a diferenciação implícita para encontrar a derivada
, que nos dará a inclinação da reta tangente no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a diferenciação implícita na equação da curva
. Isso significa que vamos derivar cada termo em relação a
, lembrando que
é uma função de
.
Derivando termo a termo:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é (usando a regra da cadeia). - A derivada de
em relação a é (usando a regra do produto). - A derivada de
em relação a é .
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos isolar
na equação que obtivemos:
Juntando os termos com
:
Multiplicando os dois lados por -1 para simplificar:
Finalmente, isolando
:
Simplificando a fração:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o valor da derivada
no ponto
. Substituindo
e
na expressão da derivada:
Então, a inclinação
da reta tangente no ponto
é 3.
Passo 5
Com a inclinação
e o ponto
, podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Podemos deixar a equação assim ou racionalizar o denominador, mas essa forma já está correta.
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto
é:
Exercícios relacionados
Determine os extremos relativos de
, se existirem.
f)
f)
Determine os extremos relativos de
, se existirem.
b)
b)
Resolva: Mostre que a igualdade abaixo é válida.
Dadas as equações
e
, determine a derivada indicada.
a)
a)