Escreva a equação da reta tangente à curva F(x, y) = 0 no ponto P.
a) F(x, y) = 2*x^3 - y^2 - 2*x^2*y + 1 ; P = (-1/(raiz(2)), 0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação da reta tangente à curva definida por no ponto . Esse problema está relacionado a geometria analítica, especificamente a encontrar a reta tangente a uma curva implícita. Para resolver isso, vamos precisar usar a diferenciação implícita para encontrar a derivada , que nos dará a inclinação da reta tangente no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a diferenciação implícita na equação da curva . Isso significa que vamos derivar cada termo em relação a , lembrando que é uma função de .
Derivando termo a termo:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é (usando a regra da cadeia).
  • A derivada de em relação a é (usando a regra do produto).
  • A derivada de em relação a é .
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos isolar na equação que obtivemos:
Juntando os termos com :
Multiplicando os dois lados por -1 para simplificar:
Finalmente, isolando :
Simplificando a fração:

Passo 4

Agora, vamos encontrar o valor da derivada no ponto . Substituindo e na expressão da derivada:
Então, a inclinação da reta tangente no ponto é 3.

Passo 5

Com a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Podemos deixar a equação assim ou racionalizar o denominador, mas essa forma já está correta.

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

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