Dadas as equações diferenciais ordinárias, determine sua ordem, grau e linearidade.
b)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) e precisamos descobrir três coisas sobre ela: a ordem, o grau e se ela é linear ou não. Para isso, vamos precisar entender o que cada um desses termos significa e como identificá-los na equação que foi dada. A equação que vamos analisar é:
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre ordem da EDO. A ordem de uma equação diferencial é simplesmente a maior derivada que aparece nela. Olhando para a nossa equação:
A maior derivada que vemos é
, que é a quarta derivada de
em relação a
. Então, a ordem dessa EDO é 4.
Passo 3
Agora, vamos determinar o grau da EDO. O grau é o expoente da derivada de maior ordem quando a equação está em forma polinomial em relação às derivadas. No nosso caso, a equação já está organizada de forma que cada termo envolva
,
e
sem potências ou funções complicadas aplicadas a elas. A derivada de maior ordem é
e está elevada à potência 1. Portanto, o grau da EDO é 1.
Passo 4
Por último, vamos ver se a EDO é linear ou não. Uma equação diferencial é linear se todas as derivadas de
aparecem apenas na primeira potência e não estão multiplicadas entre si ou por funções de
. Observando a nossa equação:
Embora as derivadas estejam multiplicadas por funções de
(como
e
), isso não impede a linearidade. O que importa para a linearidade é que
,
,
, etc., não sejam multiplicados entre si ou elevados a alguma potência. Como isso é verdade na nossa equação, ela é linear.
Resposta
A equação diferencial dada tem ordem 4, grau 1 e é linear.
Exercícios relacionados
Verifique se as seguintes séries convergem absolutamente, condicionalmente ou diverge.
Dadas as equações diferenciais ordinárias, determine sua ordem, grau e linearidade.
d)
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Escreva as equações em coordenadas cilíndricas:
a)
b)
c)
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b)
c)