Dadas as equações diferenciais ordinárias, determine sua ordem, grau e linearidade.
d)

Passo 1

Vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial ordinária (EDO) e precisamos determinar três coisas sobre ela: ordem, grau e linearidade. Para isso, vamos precisar lembrar um pouco sobre cada um desses conceitos.

Passo 2

Ordem da EDO é o maior número de derivadas que aparecem na equação. Olhando para a nossa equação:
A derivada mais alta é (a terceira derivada de ), então a ordem da equação é 3.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o grau da EDO. O grau é o expoente da derivada de maior ordem depois de termos a equação escrita de forma polinomial nas derivadas. Nossa equação já está assim:
Aqui, a derivada está elevada ao primeiro grau e não há frações ou potências complicadas. Portanto, o grau da equação é 1.

Passo 4

Por último, vamos verificar a linearidade da EDO. Uma equação é linear se ela pode ser escrita como uma combinação linear das derivadas de , onde os coeficientes podem depender apenas da variável independente (no caso, ), e não de ou suas derivadas.
Nossa equação:
Pode ser reorganizada como:
Aqui, os coeficientes e dependem apenas de , e as derivadas de estão todas de primeiro grau e não multiplicadas entre si. Portanto, a equação é linear.

Resposta

A equação diferencial dada é de ordem 3, grau 1 e é linear.

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Dadas as equações diferenciais ordinárias, determine sua ordem, grau e linearidade.
b)
Escreva as equações em coordenadas cilíndricas:
a)
b)
c)
Mostre que as igualdades são verdadeiras.