Verifique se as seguintes séries convergem absolutamente, condicionalmente ou diverge.
Passo 1
Vamos dar uma olhada na questão: precisamos verificar se as séries apresentadas convergem absolutamente, convergem condicionalmente ou divergem. Para isso, vamos utilizar alguns conceitos de séries infinitas e aplicar testes de convergência que aprendemos na matéria de Cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa cada tipo de convergência:
-
Convergência Absoluta: A série converge absolutamente se a série dos valores absolutos dos seus termos também converge. Ou seja, se retirarmos os sinais positivos e negativos e somarmos os termos, a série ainda converge.
-
Convergência Condicional: A série converge condicionalmente se ela converge, mas a série dos valores absolutos não converge.
-
Divergência: A série não converge, ou seja, a soma dos seus termos não se aproxima de um limite específico.
Passo 3
Para verificar a convergência absoluta, podemos utilizar o Teste da Comparação ou o Teste da Razão. Esses testes nos ajudam a comparar a série em questão com uma série conhecida cuja convergência já foi estabelecida.
Passo 4
Se a série tiver termos com sinais alternados (positivos e negativos), podemos aplicar o Teste da Série Alternada (Teste de Leibniz). Esse teste verifica duas condições:
- Os termos em valor absoluto devem ser decrescentes.
- O limite dos termos em valor absoluto deve ser zero.
Se ambas as condições forem atendidas, a série converge condicionalmente.
Passo 5
Vamos aplicar esses testes nas séries fornecidas uma a uma:
-
Série 1:
- Aplicando o Teste da Série Alternada:
- Os termos em valor absoluto
são decrescentes. -
.
- Os termos em valor absoluto
- Portanto, a série converge condicionalmente.
- Verificando a convergência absoluta:
- A série dos valores absolutos é
, que é a série harmônica e diverge.
- A série dos valores absolutos é
- Aplicando o Teste da Série Alternada:
-
Série 2:
- Aplicando o Teste da Comparação:
- Comparando com a série
, que é uma série p com e converge.
- Comparando com a série
- Portanto, a série converge absolutamente.
- Aplicando o Teste da Comparação:
Resposta
A Série 1 converge condicionalmente e a Série 2 converge absolutamente.
Exercícios relacionados
Utilize coordenadas cilíndricas:
a) , onde
é a região que está dentro do cilindro
e entre os planos
e
.
b) , onde
é o sólido do primeiro octante que está abaixo do paraboloide
.
c) , onde
é o sólido que está dentro do cilindro
, acima do plano
e abaixo do cone
.
d) Determine volume do sólido que é limitado pelo cone
e abaixo da esfera
a)
b)
c)
d) Determine
Resolver as seguintes equações diferenciais:
e) .
e)
Dadas as equações diferenciais ordinárias, determine sua ordem, grau e linearidade.
b)
b)