Verifique se as seguintes séries convergem absolutamente, condicionalmente ou diverge.

Passo 1

Vamos dar uma olhada na questão: precisamos verificar se as séries apresentadas convergem absolutamente, convergem condicionalmente ou divergem. Para isso, vamos utilizar alguns conceitos de séries infinitas e aplicar testes de convergência que aprendemos na matéria de Cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa cada tipo de convergência:
  • Convergência Absoluta: A série converge absolutamente se a série dos valores absolutos dos seus termos também converge. Ou seja, se retirarmos os sinais positivos e negativos e somarmos os termos, a série ainda converge.
  • Convergência Condicional: A série converge condicionalmente se ela converge, mas a série dos valores absolutos não converge.
  • Divergência: A série não converge, ou seja, a soma dos seus termos não se aproxima de um limite específico.

Passo 3

Para verificar a convergência absoluta, podemos utilizar o Teste da Comparação ou o Teste da Razão. Esses testes nos ajudam a comparar a série em questão com uma série conhecida cuja convergência já foi estabelecida.

Passo 4

Se a série tiver termos com sinais alternados (positivos e negativos), podemos aplicar o Teste da Série Alternada (Teste de Leibniz). Esse teste verifica duas condições:
  1. Os termos em valor absoluto devem ser decrescentes.
  2. O limite dos termos em valor absoluto deve ser zero.
Se ambas as condições forem atendidas, a série converge condicionalmente.

Passo 5

Vamos aplicar esses testes nas séries fornecidas uma a uma:
  1. Série 1:
    • Aplicando o Teste da Série Alternada:
      • Os termos em valor absoluto são decrescentes.
      • .
    • Portanto, a série converge condicionalmente.
    • Verificando a convergência absoluta:
      • A série dos valores absolutos é , que é a série harmônica e diverge.
  2. Série 2:
    • Aplicando o Teste da Comparação:
      • Comparando com a série , que é uma série p com e converge.
    • Portanto, a série converge absolutamente.

Resposta

A Série 1 converge condicionalmente e a Série 2 converge absolutamente.

Exercícios relacionados

Utilize coordenadas cilíndricas:
a) , onde é a região que está dentro do cilindro e entre os planos e .
b) , onde é o sólido do primeiro octante que está abaixo do paraboloide .
c) , onde é o sólido que está dentro do cilindro , acima do plano e abaixo do cone .
d) Determine volume do sólido que é limitado pelo cone e abaixo da esfera
Resolver as seguintes equações diferenciais:
e) .
Dadas as equações diferenciais ordinárias, determine sua ordem, grau e linearidade.
b)