Resolver os seguintes problemas de valor inicial:
b)
.
b)
Passo 1
Então, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial do segundo grau:
E as condições iniciais são:
Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Basicamente, vamos encontrar uma função
que satisfaça essa equação e também atenda às condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 2 para facilitar:
Agora, reconhecemos que essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A forma geral é:
onde
no nosso caso.
Passo 3
Para resolver, vamos achar a solução característica associada. Assumimos uma solução da forma
, e substituímos na equação:
Dividindo por
(que nunca é zero):
Passo 4
Resolvendo a equação característica:
Encontramos números complexos puros, o que significa que a solução geral será uma combinação de funções seno e cosseno.
Passo 5
A solução geral para equações com raízes complexas
é:
No nosso caso,
e
, então:
Passo 6
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, quando
:
Então,
.
Passo 7
Agora, vamos achar a derivada
:
Aplicando a condição
:
Passo 8
Resolvendo para
:
Resposta
A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é: