Resolver os seguintes problemas de valor inicial:
b) 2 d²y/dx² + 3y = 0, y(0) = 1, dy/dx(0) = 3.

Passo 1

Então, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial do segundo grau:
E as condições iniciais são:
Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes. Basicamente, vamos encontrar uma função que satisfaça essa equação e também atenda às condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 2 para facilitar:
Agora, reconhecemos que essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A forma geral é:
onde no nosso caso.

Passo 3

Para resolver, vamos achar a solução característica associada. Assumimos uma solução da forma , e substituímos na equação:
Dividindo por (que nunca é zero):

Passo 4

Resolvendo a equação característica:
Encontramos números complexos puros, o que significa que a solução geral será uma combinação de funções seno e cosseno.

Passo 5

A solução geral para equações com raízes complexas é:
No nosso caso, e , então:

Passo 6

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, quando :
Então, .

Passo 7

Agora, vamos achar a derivada :
Aplicando a condição :

Passo 8

Resolvendo para :

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:

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