Mostre que as igualdades são verdadeiras.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma soma infinita de frações da forma , onde começa em 1 e vai aumentando: . O objetivo é mostrar que essa soma é igual a . Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de frações parciais e entender como somar séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar cada termo da soma usando frações parciais. Isso significa que vamos escrever como a diferença de duas frações mais simples. Procuramos números e tais que:

Passo 3

Multiplicando ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores, temos:
Agora, vamos encontrar os valores de e . Expandindo a equação:
Agrupando os termos com :
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, temos:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações. Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então, temos:

Passo 5

Agora, substituímos essa expressão na soma original:

Passo 6

Vamos escrever os primeiros termos dessa soma para ver o padrão:
Observamos que há termos que se cancelam mutuamente, um fenômeno chamado de telescópio.

Passo 7

Após o cancelamento, restam apenas os primeiros dois termos que não são eliminados:

Resposta

Portanto, a soma infinita é igual a .

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