Mostre que as igualdades são verdadeiras.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma soma infinita de frações da forma
, onde
começa em 1 e vai aumentando:
. O objetivo é mostrar que essa soma é igual a
. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de frações parciais e entender como somar séries infinitas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar cada termo da soma usando frações parciais. Isso significa que vamos escrever
como a diferença de duas frações mais simples. Procuramos números
e
tais que:
Passo 3
Multiplicando ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores, temos:
Agora, vamos encontrar os valores de
e
. Expandindo a equação:
Agrupando os termos com
:
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, temos:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações. Da segunda equação:
Substituindo
na primeira equação:
Então, temos:
Passo 5
Agora, substituímos essa expressão na soma original:
Passo 6
Vamos escrever os primeiros termos dessa soma para ver o padrão:
Observamos que há termos que se cancelam mutuamente, um fenômeno chamado de telescópio.
Passo 7
Após o cancelamento, restam apenas os primeiros dois termos que não são eliminados:
Resposta
Portanto, a soma infinita
é igual a
.
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Escreva as equações em coordenadas cilíndricas:
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Dadas as equações diferenciais ordinárias, determine sua ordem, grau e linearidade.
d)
d)
Decida se cada uma das séries abaixo é convergente. Se possível, calcule sua soma.