Dadas as equações diferenciais ordinárias, determine sua ordem, grau e linearidade.
a) (1-x) y'' - 4 x y + 5 y = cos(x)

Passo 1

Vamos dar uma olhada na equação diferencial que temos: . Nosso objetivo aqui é descobrir três coisas sobre essa equação: a ordem, o grau e se ela é linear ou não. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre o que significam esses termos quando falamos de equações diferenciais ordinárias (EDOs).

Passo 2

Ordem da Equação: A ordem de uma EDO é determinada pelo maior número de derivadas que aparecem na equação. Olhando para a nossa equação , vemos que a derivada de segunda ordem é a derivada de maior grau presente. Portanto, a ordem dessa equação é 2.

Passo 3

Grau da Equação: O grau de uma EDO é o expoente da derivada de maior ordem, desde que a equação seja um polinômio em relação a todas as derivadas. Na nossa equação, o aparece apenas na primeira potência e não está dentro de uma função não polinomial. Assim, o grau da equação é 1.

Passo 4

Linearidade da Equação: Uma EDO é considerada linear se puder ser escrita como uma combinação linear das soluções e suas derivadas, sem multiplicações entre si ou funções não lineares aplicadas a elas. Observando nossa equação , vemos que todas as derivadas de aparecem apenas na primeira potência e não estão multiplicadas entre si ou passadas por funções não lineares. Além disso, os coeficientes podem depender de , mas isso não afeta a linearidade. Portanto, a equação é linear.

Resposta

  • Ordem: 2
  • Grau: 1
  • Linearidade: Linear

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