Dadas as equações diferenciais ordinárias, determine sua ordem, grau e linearidade.
a)
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Passo 1
Vamos dar uma olhada na equação diferencial que temos:
. Nosso objetivo aqui é descobrir três coisas sobre essa equação: a ordem, o grau e se ela é linear ou não. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre o que significam esses termos quando falamos de equações diferenciais ordinárias (EDOs).
Passo 2
Ordem da Equação: A ordem de uma EDO é determinada pelo maior número de derivadas que aparecem na equação. Olhando para a nossa equação
, vemos que a derivada de segunda ordem
é a derivada de maior grau presente. Portanto, a ordem dessa equação é 2.
Passo 3
Grau da Equação: O grau de uma EDO é o expoente da derivada de maior ordem, desde que a equação seja um polinômio em relação a todas as derivadas. Na nossa equação, o
aparece apenas na primeira potência e não está dentro de uma função não polinomial. Assim, o grau da equação é 1.
Passo 4
Linearidade da Equação: Uma EDO é considerada linear se puder ser escrita como uma combinação linear das soluções e suas derivadas, sem multiplicações entre si ou funções não lineares aplicadas a elas. Observando nossa equação
, vemos que todas as derivadas de
aparecem apenas na primeira potência e não estão multiplicadas entre si ou passadas por funções não lineares. Além disso, os coeficientes podem depender de
, mas isso não afeta a linearidade. Portanto, a equação é linear.
Resposta
- Ordem: 2
- Grau: 1
- Linearidade: Linear
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.
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