Usando a definição precisa do limite, prove que
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para provar que o limite de
quando
se aproxima de
é igual a
. Para isso, vamos utilizar a definição precisa de limite em análise complexa. Precisaremos entender como aplicar essa definição para funções de números complexos.
Passo 2
Primeiro, recordemos a definição precisa de limite para funções de variáveis complexas. Dizemos que:
se, para todo número real
, existe um número real
tal que sempre que
, então
.
Isso significa que podemos tornar
tão próximo de
quanto quisermos, escolhendo
suficientemente próximo de
.
Passo 3
Aplicando essa definição ao nosso caso, queremos provar que:
Ou seja, para todo
, precisamos encontrar um
tal que se
, então:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro do módulo:
Agora, substituímos
, onde
é um número complexo que tende a zero quando
. Assim, temos:
Calculando:
Simplificando:
Portanto, a expressão reduzida é
.
Passo 5
Agora, queremos que:
Utilizando a desigualdade triangular, temos:
Somando os termos semelhantes:
Queremos que isso seja menor que
:
Passo 6
Para garantir que
, podemos limitar
de forma que
. Assim,
, e temos:
Então, basta escolher
tal que
, ou seja,
.
Passo 7
Portanto, podemos definir:
Assim, sempre que
, teremos:
Resposta
Portanto, pela definição precisa de limite, mostramos que: