Usando a definição precisa do limite, prove que lim z 2 i(z^2+3 z)=-4+6 i.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para provar que o limite de quando se aproxima de é igual a . Para isso, vamos utilizar a definição precisa de limite em análise complexa. Precisaremos entender como aplicar essa definição para funções de números complexos.

Passo 2

Primeiro, recordemos a definição precisa de limite para funções de variáveis complexas. Dizemos que:
limz to z0 f(z) = L
se, para todo número real , existe um número real tal que sempre que , então .
Isso significa que podemos tornar tão próximo de quanto quisermos, escolhendo suficientemente próximo de .

Passo 3

Aplicando essa definição ao nosso caso, queremos provar que:
limz to 2i (z^2 + 3z) = -4 + 6i
Ou seja, para todo |z^2 + 3z - (-4 + 6i)| < epsilon , precisamos encontrar um tal que se , então:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro do módulo:
z^2 + 3z - (-4 + 6i) = z^2 + 3z + 4 - 6i
Agora, substituímos (2i + h)^2 + 3(2i + h) + 4 - 6i , onde (4i^2 + 4ih + h^2) + (6i + 3h) + 4 - 6i = (-4 + 4ih + h^2) + (6i + 3h) + 4 - 6i é um número complexo que tende a zero quando -4 + 4ih + h^2 + 6i + 3h + 4 - 6i = 4ih + h^2 + 3h . Assim, temos:
Calculando:
Simplificando:
Portanto, a expressão reduzida é .

Passo 5

Agora, queremos que:
|4ih + h^2 + 3h| < epsilon
Utilizando a desigualdade triangular, temos:
|4ih| + |h^2| + |3h| = 4|h| + |h|^2 + 3|h|
Somando os termos semelhantes:
7|h| + |h|^2
Queremos que isso seja menor que 7|h| + |h|^2 < epsilon :

Passo 6

Para garantir que 7|h| + |h|^2 < 7|h| + |h| = 8|h| , podemos limitar de forma que . Assim, , e temos:
Então, basta escolher tal que , ou seja, .

Passo 7

Portanto, podemos definir:
de
Assim, sempre que |z^2 + 3z - (-4 + 6i)| < epsilon , teremos:

Resposta

Portanto, pela definição precisa de limite, mostramos que:
limz to 2i (z^2 + 3z) = -4 + 6i

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