Usando a definição precisa do limite, prove que .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para provar que o limite de quando se aproxima de é igual a . Para isso, vamos utilizar a definição precisa de limite em análise complexa. Precisaremos entender como aplicar essa definição para funções de números complexos.

Passo 2

Primeiro, recordemos a definição precisa de limite para funções de variáveis complexas. Dizemos que:
se, para todo número real , existe um número real tal que sempre que , então .
Isso significa que podemos tornar tão próximo de quanto quisermos, escolhendo suficientemente próximo de .

Passo 3

Aplicando essa definição ao nosso caso, queremos provar que:
Ou seja, para todo , precisamos encontrar um tal que se , então:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro do módulo:
Agora, substituímos , onde é um número complexo que tende a zero quando . Assim, temos:
Calculando:
Simplificando:
Portanto, a expressão reduzida é .

Passo 5

Agora, queremos que:
Utilizando a desigualdade triangular, temos:
Somando os termos semelhantes:
Queremos que isso seja menor que :

Passo 6

Para garantir que , podemos limitar de forma que . Assim, , e temos:
Então, basta escolher tal que , ou seja, .

Passo 7

Portanto, podemos definir:
Assim, sempre que , teremos:

Resposta

Portanto, pela definição precisa de limite, mostramos que:

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