Dadas as equações
e
, determine a derivada indicada.
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas equações envolvendo as variáveis
e
:
Nosso objetivo é encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, vamos usar o método de derivadas implícitas, que ajuda a encontrar derivadas quando as variáveis estão todas misturadas nas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambas as equações em relação a
. Isso significa que vamos aplicar a derivada em cada termo, considerando que
e
também dependem de
. Lembre-se que, ao diferenciar algo como
, usamos a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 3
Vamos diferenciar a primeira equação
em relação a
:
Aplicando as regras de derivação:
Mas assumindo que
é uma constante em relação a
, então
. Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos diferenciar a segunda equação
em relação a
:
Aplicando as regras de derivação:
Novamente, assumindo que
é constante em relação a
, temos
. Então:
Passo 5
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
e
. Vamos organizar as equações:
Passo 6
Para resolver esse sistema, podemos usar métodos de álgebra linear. Vamos isolar
na segunda equação:
Agora, substituímos essa expressão na primeira equação:
Passo 7
Vamos simplificar a equação:
Agrupando os termos com
:
Fatorando
:
Passo 8
Agora, isolamos
:
Simplificando o denominador:
Passo 9
Finalmente, substituímos
na expressão que encontramos para
:
Resposta
A derivada parcial de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
Escreva a equação da reta tangente à curva
no ponto
.
d)
d)
Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.