Dadas as equações e , determine a derivada indicada.
c)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas equações envolvendo as variáveis e :
Nosso objetivo é encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos usar o método de derivadas implícitas, que ajuda a encontrar derivadas quando as variáveis estão todas misturadas nas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambas as equações em relação a . Isso significa que vamos aplicar a derivada em cada termo, considerando que e também dependem de . Lembre-se que, ao diferenciar algo como , usamos a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 3

Vamos diferenciar a primeira equação em relação a :
Aplicando as regras de derivação:
Mas assumindo que é uma constante em relação a , então . Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos diferenciar a segunda equação em relação a :
Aplicando as regras de derivação:
Novamente, assumindo que é constante em relação a , temos . Então:

Passo 5

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas: e . Vamos organizar as equações:

Passo 6

Para resolver esse sistema, podemos usar métodos de álgebra linear. Vamos isolar na segunda equação:
Agora, substituímos essa expressão na primeira equação:

Passo 7

Vamos simplificar a equação:
Agrupando os termos com :
Fatorando :

Passo 8

Agora, isolamos :
Simplificando o denominador:

Passo 9

Finalmente, substituímos na expressão que encontramos para :

Resposta

A derivada parcial de em relação a é:

Exercícios relacionados

Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
Escreva a equação da reta tangente à curva no ponto .
d)
Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
pts)