Dadas as equações F(x, y, u, v)=0 e G(x, y, u, v)=0, determine a derivada indicada.
c) F(x, y, u, v)=u e^v-x y+v, G(x, y, u, v)=v e^y-x v+u ; partial upartial x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas equações envolvendo as variáveis F(x, y, u, v) = u e^v - x y + v = 0 e G(x, y, u, v) = v e^y - x v + u = 0 :
Nosso objetivo é encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos usar o método de derivadas implícitas, que ajuda a encontrar derivadas quando as variáveis estão todas misturadas nas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambas as equações em relação a . Isso significa que vamos aplicar a derivada em cada termo, considerando que e também dependem de . Lembre-se que, ao diferenciar algo como , usamos a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 3

Vamos diferenciar a primeira equação ddx(u e^v) - ddx(x y) + ddx(v) = 0 em relação a e^v partial upartial x + u e^v partial vpartial x - y - x partial ypartial x + partial vpartial x = 0 :
e^v partial upartial x + u e^v partial vpartial x - y + partial vpartial x = 0
Aplicando as regras de derivação:
Mas assumindo que é uma constante em relação a , então . Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos diferenciar a segunda equação ddx(v e^y) - ddx(x v) + ddx(u) = 0 em relação a e^y partial vpartial x + v e^y partial ypartial x - v - x partial vpartial x + partial upartial x = 0 :
e^y partial vpartial x - v - x partial vpartial x + partial upartial x = 0
Aplicando as regras de derivação:
Novamente, assumindo que é constante em relação a , temos . Então:

Passo 5

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas: e . Vamos organizar as equações:

Passo 6

Para resolver esse sistema, podemos usar métodos de álgebra linear. Vamos isolar partial upartial x = v - (e^y - x) partial vpartial x na segunda equação:
e^v (v - (e^y - x) partial vpartial x) + u e^v partial vpartial x + partial vpartial x = y
Agora, substituímos essa expressão na primeira equação:

Passo 7

Vamos simplificar a equação:
e^v v - e^v (e^y - x) partial vpartial x + u e^v partial vpartial x + partial vpartial x = y
Agrupando os termos com - e^v (e^y - x) partial vpartial x + u e^v partial vpartial x + partial vpartial x = y - e^v v :
( - e^v (e^y - x) + u e^v + 1 ) partial vpartial x = y - e^v v
Fatorando :

Passo 8

Agora, isolamos partial vpartial x = y - e^v v- e^v (e^y - x) + u e^v + 1 :
partial vpartial x = y - e^v ve^v(u - (e^y - x)) + 1
Simplificando o denominador:

Passo 9

Finalmente, substituímos partial upartial x = v - (e^y - x) ( y - e^v ve^v(u - (e^y - x)) + 1 ) na expressão que encontramos para :

Resposta

A derivada parcial de partial upartial x = v - (e^y - x) ( y - e^v ve^v(u - (e^y - x)) + 1 ) em relação a é:

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