Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente. a_n = (n+1)^(n) / n^(n+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a sequência converge ou diverge. Isso faz parte do estudo de sequências e limites na matemática. Para resolver, vamos calcular o limite dessa sequência quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar o cálculo do limite. A sequência é:
Podemos reescrever como , então:

Passo 3

Agora, vamos focar na parte . Podemos reescrever isso como:
Sabemos que se aproxima de quando tende ao infinito, onde é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente 2,71828.

Passo 4

Então, substituindo de volta na expressão original:
À medida que aumenta, tende a 0. Portanto, multiplicando por algo que vai para zero, o resultado também vai para zero.

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é 0.

Exercícios relacionados