Escreva a equação da reta tangente à curva F(x, y) = 0 no ponto P.
d) F(x, y) = x^2/a^2 + y^2/b^2 - 1 ; P = (x0, y0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que escrever a equação da reta tangente à curva definida por no ponto . Isso está relacionado ao estudo de geometria analítica, mais especificamente sobre retas tangentes a curvas. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a derivada implícita para encontrar a inclinação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a reta tangente em um ponto específico de uma curva tem a mesma inclinação da curva naquele ponto. Para encontrar essa inclinação, precisamos calcular a derivada da curva em relação a .
Vamos derivar implicitamente:
Derivando cada termo:

Passo 3

Agora, queremos isolar , que representa a inclinação da reta tangente:
Dividindo ambos os lados por :
Então, a inclinação da reta tangente no ponto é:

Passo 4

Com a inclinação e o ponto , podemos usar a forma ponto-inclinação da equação da reta, que é:
Substituindo pela expressão que encontramos:

Passo 5

Vamos simplificar essa equação para deixá-la mais elegante. Multiplicando ambos os lados por :
Distribuindo os termos:
Rearranjando para a forma padrão da reta:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

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