Escreva a equação da reta tangente à curva
no ponto
.
d)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que escrever a equação da reta tangente à curva definida por
no ponto
. Isso está relacionado ao estudo de geometria analítica, mais especificamente sobre retas tangentes a curvas. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a derivada implícita para encontrar a inclinação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a reta tangente em um ponto específico de uma curva tem a mesma inclinação da curva naquele ponto. Para encontrar essa inclinação, precisamos calcular a derivada da curva
em relação a
.
Vamos derivar
implicitamente:
Derivando cada termo:
Passo 3
Agora, queremos isolar
, que representa a inclinação da reta tangente:
Dividindo ambos os lados por
:
Então, a inclinação da reta tangente no ponto
é:
Passo 4
Com a inclinação
e o ponto
, podemos usar a forma ponto-inclinação da equação da reta, que é:
Substituindo
pela expressão que encontramos:
Passo 5
Vamos simplificar essa equação para deixá-la mais elegante. Multiplicando ambos os lados por
:
Distribuindo os termos:
Rearranjando para a forma padrão da reta:
Resposta
A equação da reta tangente à curva
no ponto
é: