Dadas as equações
e
, determine a derivada indicada.
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas equações com três variáveis:
e
. A gente precisa descobrir a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas implícitas, que nos ajuda a encontrar taxas de variação quando as variáveis estão todas misturadas nas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar as duas equações que temos:
Essas equações relacionam
,
e
, e queremos entender como
muda quando
muda, mantendo essas relações.
Passo 3
Vamos usar a regra da cadeia para derivar ambas as equações em relação a
. Isso significa que vamos derivar
e
em relação a
, lembrando que
e
também podem depender de
.
Primeiro, derivando
:
Segundo, derivando
:
Passo 4
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
e
. Vamos chamar essas derivadas de
e
para simplificar:
Nosso objetivo é resolver esse sistema para encontrar
.
Passo 5
Vamos resolver a primeira equação para
:
Agora, substituímos
na segunda equação:
Simplificando:
Agrupando os termos com
:
Resolvendo para
:
Resposta
A derivada
é: