Dadas as equações F(x, y, z) = 0 e G(x, y, z) = 0, determine a derivada indicada.
d) F(x, y, z) = x^2 - y^2 - z^2 - 1, G(x, y, z) = x^2 y - y^2 z + x z^2 - 1 ; dy/dx

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas equações com três variáveis: e . A gente precisa descobrir a derivada de em relação a , ou seja, . Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas implícitas, que nos ajuda a encontrar taxas de variação quando as variáveis estão todas misturadas nas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar as duas equações que temos:
Essas equações relacionam , e , e queremos entender como muda quando muda, mantendo essas relações.

Passo 3

Vamos usar a regra da cadeia para derivar ambas as equações em relação a . Isso significa que vamos derivar e em relação a , lembrando que e também podem depender de .
Primeiro, derivando :
Segundo, derivando :

Passo 4

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas: e . Vamos chamar essas derivadas de e para simplificar:
Nosso objetivo é resolver esse sistema para encontrar .

Passo 5

Vamos resolver a primeira equação para :
Agora, substituímos na segunda equação:
Simplificando:
Agrupando os termos com :
Resolvendo para :

Resposta

A derivada é:

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