Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.

Passo 1

Então, a gente vai resolver um exercício de sequência numérica. A questão pede pra gente decidir se a sequência é convergente ou divergente e, se for convergente, encontrar o limite. Para isso, vamos precisar conhecer conceitos de limites de sequências e propriedades de produtos de termos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a fração . Essa fração pode ser representada como o produto de termos da forma para de 1 até . Ou seja:

Passo 3

Vamos simplificar esse produto. Observamos que:
Portanto, a fração se torna:
Isso nos ajuda a entender o comportamento do produto à medida que aumenta.

Passo 4

Para analisar o limite da sequência , vamos considerar o comportamento individual dos fatores e do termo . À medida que cresce, o produto tende a diminuir, já que cada fator é menor que 1. Além disso, o termo também tende a zero quando tende ao infinito.

Passo 5

Combinando essas observações, concluímos que o produto inteiro tende a zero mais rapidamente que o , fazendo com que o limite de seja zero.

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é zero, ou seja:

Exercícios relacionados

Escreva a equação da reta tangente à curva no ponto .
b)
Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente. ;
Dadas as equações e , determine a derivada indicada.
d)
Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.