Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
Passo 1
Então, a gente vai resolver um exercício de sequência numérica. A questão pede pra gente decidir se a sequência
é convergente ou divergente e, se for convergente, encontrar o limite. Para isso, vamos precisar conhecer conceitos de limites de sequências e propriedades de produtos de termos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a fração
. Essa fração pode ser representada como o produto de termos da forma
para
de 1 até
. Ou seja:
Passo 3
Vamos simplificar esse produto. Observamos que:
Portanto, a fração se torna:
Isso nos ajuda a entender o comportamento do produto à medida que
aumenta.
Passo 4
Para analisar o limite da sequência
, vamos considerar o comportamento individual dos fatores e do termo
. À medida que
cresce, o produto
tende a diminuir, já que cada fator é menor que 1. Além disso, o termo
também tende a zero quando
tende ao infinito.
Passo 5
Combinando essas observações, concluímos que o produto inteiro
tende a zero mais rapidamente que o
, fazendo com que o limite de
seja zero.
Resposta
A sequência
é convergente e seu limite é zero, ou seja:
Exercícios relacionados
Escreva a equação da reta tangente à curva
no ponto
.
b)
b)
Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
;
Dadas as equações
e
, determine a derivada indicada.
d)
d)
Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.