Verifique a convergência ou divergência das seguintes sequências:
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a gente tem aqui. A questão pede pra gente verificar se a sequência
converge ou diverge. Isso está relacionado ao estudo de limites de sequências, que é uma parte fundamental do cálculo. Para resolver, vamos precisar calcular o limite dessa sequência quando
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a expressão da sequência. No numerador, temos o produto dos primeiros
números pares:
. Isso pode ser representado como
, onde
é o fatorial de
.
No denominador, temos o produto dos primeiros
números ímpares:
. Esse produto pode ser relacionado ao fatorial, mas de maneira um pouco diferente. Podemos expressá-lo como
.
Passo 3
Agora, substituindo essas expressões na sequência, temos:
Passo 4
Para simplificar, vamos usar a fórmula de Stirling, que é uma aproximação para fatores grandes. A fórmula de Stirling diz que:
Aplicando isso aos termos
e
:
Passo 5
Substituindo essas aproximações na expressão de
:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Passo 7
Observando o comportamento de
quando
tende ao infinito:
Resposta
A sequência
diverge para infinito.
Exercícios relacionados
Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
Dadas as equações
e
, determine a derivada indicada.
d)
d)
Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
Prove (utilizando a definição de limite) que
.