Verifique a convergência ou divergência das seguintes sequências:

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a gente tem aqui. A questão pede pra gente verificar se a sequência converge ou diverge. Isso está relacionado ao estudo de limites de sequências, que é uma parte fundamental do cálculo. Para resolver, vamos precisar calcular o limite dessa sequência quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a expressão da sequência. No numerador, temos o produto dos primeiros números pares: . Isso pode ser representado como , onde é o fatorial de .
No denominador, temos o produto dos primeiros números ímpares: . Esse produto pode ser relacionado ao fatorial, mas de maneira um pouco diferente. Podemos expressá-lo como .

Passo 3

Agora, substituindo essas expressões na sequência, temos:

Passo 4

Para simplificar, vamos usar a fórmula de Stirling, que é uma aproximação para fatores grandes. A fórmula de Stirling diz que:
Aplicando isso aos termos e :

Passo 5

Substituindo essas aproximações na expressão de :

Passo 6

Simplificando a expressão:

Passo 7

Observando o comportamento de quando tende ao infinito:

Resposta

A sequência diverge para infinito.

Exercícios relacionados

Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
Dadas as equações e , determine a derivada indicada.
d)
Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente.
Prove (utilizando a definição de limite) que .