Decida se cada uma das sequências abaixo é convergente ou divergente, calculando o limite no caso convergente. a_n = ((3n + 5) / (5n + 1))^n * (5/3)^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência definida por:
O objetivo é decidir se essa sequência converge (tem um limite finito) ou diverge (não tem limite finito). Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades das potências.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência para facilitar o cálculo do limite. Observa que temos duas partes elevadas à potência . Podemos combinar essas partes:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar as frações dentro dos parênteses:

Passo 4

Vamos simplificar essa fração dividindo numerador e denominador por :
À medida que cresce, os termos e tendem a zero. Então, podemos aproximar:

Passo 5

Agora, substituímos de volta na expressão da sequência:
Isso significa que, conforme aumenta, permanece igual a 1.

Resposta

A sequência converge e o seu limite é:

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