Dadas equações paramétricas de um plano obtenha uma equação geral de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. A gente tem as equações paramétricas de um plano:
Nosso objetivo é encontrar a equação geral desse plano, que geralmente tem a forma . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores e planos na geometria analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar as equações paramétricas de uma forma que facilite nossa análise. Observamos que as variáveis e são os parâmetros. Vamos reescrever as equações:
Isso mostra como cada coordenada do ponto no plano depende dos parâmetros e .
Passo 3
Agora, vamos identificar um ponto específico no plano e dois vetores diretores que estão no plano. Para isso, vamos escolher valores para e .
Ponto: Vamos escolher e :
Então, o ponto é .
Vetor diretor em : Varia mantendo :
O vetor diretor é .
Vetor diretor em : Varia mantendo :
O vetor diretor é .
Passo 4
Com o ponto e os vetores diretores e , podemos encontrar o vetor normal do plano usando o produto vetorial entre e .
Vamos calcular :
Então, o vetor normal é .
Passo 5
Agora que temos o vetor normal e o ponto , podemos usar a fórmula geral do plano:
Onde são as componentes do vetor normal e são as coordenadas do ponto no plano.
Substituindo:
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por para deixar a equação mais padrão: