Dadas equações paramétricas de um plano pi,llx & =-1+2 lambda-3 gamma y & =1+lambda+gamma z & =lambda (lambda, gamma in R) obtenha uma equação geral de pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. A gente tem as equações paramétricas de um plano pi: ll x &= -1 + 2lambda - 3gamma y &= 1 + lambda + gamma z &= lambda (lambda, gamma in R) :
Nosso objetivo é encontrar a equação geral desse plano, que geralmente tem a forma . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores e planos na geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar as equações paramétricas de uma forma que facilite nossa análise. Observamos que as variáveis x = -1 + 2lambda - 3gamma y = 1 + lambda + gamma z = lambda e são os parâmetros. Vamos reescrever as equações:
Isso mostra como cada coordenada do ponto no plano depende dos parâmetros e .

Passo 3

Agora, vamos identificar um ponto específico no plano e dois vetores diretores que estão no plano. Para isso, vamos escolher valores para x = -1 + 2(0) - 3(0) = -1 y = 1 + 0 + 0 = 1 z = 0 e x = -1 + 2lambda y = 1 + lambda z = lambda .
  • Ponto: Vamos escolher x = -1 - 3gamma y = 1 + gamma z = 0 e :
Então, o ponto é .
  • Vetor diretor em : Varia mantendo :
O vetor diretor é .
  • Vetor diretor em : Varia mantendo :
O vetor diretor é .

Passo 4

Com o ponto u = (2, 1, 1) v = (-3, 1, 0) e os vetores diretores n = i & j & k 2 & 1 & 1 -3 & 1 & 0 = i(1 cdot 0 - 1 cdot 1) - j(2 cdot 0 - 1 cdot (-3)) + k(2 cdot 1 - 1 cdot (-3)) e n = i(-1) - j(0 + 3) + k(2 + 3) n = (-1, -3, 5) , podemos encontrar o vetor normal do plano usando o produto vetorial entre e .
Vamos calcular :
Então, o vetor normal é .

Passo 5

Agora que temos o vetor normal A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 e o ponto -1(x - (-1)) - 3(y - 1) + 5(z - 0) = 0 , podemos usar a fórmula geral do plano:
-1(x + 1) - 3(y - 1) + 5z = 0 - x - 1 - 3y + 3 + 5z = 0 - x - 3y + 5z + 2 = 0
Onde x + 3y - 5z - 2 = 0 são as componentes do vetor normal e são as coordenadas do ponto no plano.
Substituindo:
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por para deixar a equação mais padrão:

Resposta

A equação geral do plano x + 3y - 5z - 2 = 0 é:

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