Questão(2,0pt): Seja . Considere . Determine .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço vetorial e um subespaço gerado pelos vetores e . Nosso objetivo é encontrar o , que é o conjunto de todos os vetores em que são perpendiculares a todos os vetores de . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como produto interno e solução de sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um vetor estar em . Sejam um vetor em . Isso quer dizer que é perpendicular a ambos os vetores que geram . Ou seja:
Aqui, o representa o produto interno (ou produto escalar) entre vetores.

Passo 3

Vamos calcular essas duas equações:
  1. Primeira equação:
  1. Segunda equação:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de .
Da segunda equação:
Agora, substituímos na primeira equação:

Passo 5

Agora, expressamos todas as variáveis em termos de e :
Podemos atribuir parâmetros para e . Vamos chamar:
Então, o vetor fica:

Passo 6

Podemos expressar como combinação linear dos vetores e :
Isso mostra que é gerado por esses dois vetores.

Resposta

O ortogonal de é o conjunto de todos os vetores da forma
Ou seja,

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