5^ a Questão(2,0pt): Seja V=R^4. Considere W=[(1,1,1,1),(1,0,1,0)]. Determine W^perp.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço vetorial e um subespaço gerado pelos vetores e . Nosso objetivo é encontrar o , que é o conjunto de todos os vetores em que são perpendiculares a todos os vetores de . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como produto interno e solução de sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um vetor estar em v cdot (1,1,1,1) = 0 e v cdot (1,0,1,0) = 0 . Sejam um vetor em . Isso quer dizer que é perpendicular a ambos os vetores que geram . Ou seja:
Aqui, o representa o produto interno (ou produto escalar) entre vetores.

Passo 3

Vamos calcular essas duas equações:
  1. Primeira equação:
v1 cdot 1 + v2 cdot 1 + v3 cdot 1 + v4 cdot 1 = 0 v1 + v2 + v3 + v4 = 0
  1. Segunda equação:
v1 cdot 1 + v2 cdot 0 + v3 cdot 1 + v4 cdot 0 = 0 v1 + v3 = 0

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de v1 = -v3 .
Da segunda equação:
(-v3) + v2 + v3 + v4 = 0 v2 + v4 = 0 v2 = -v4
Agora, substituímos na primeira equação:

Passo 5

Agora, expressamos todas as variáveis em termos de v1 = -v3 v2 = -v4 v3 = v3 v4 = v4 e v3 = a e v4 = b onde a, b in R :
v = (-a, -b, a, b)
Podemos atribuir parâmetros para e . Vamos chamar:
Então, o vetor fica:

Passo 6

Podemos expressar v = a cdot (-1, 0, 1, 0) + b cdot (0, -1, 0, 1) como combinação linear dos vetores e :
Isso mostra que é gerado por esses dois vetores.

Resposta

O ortogonal de v = a cdot (-1,,0,,1,,0) + b cdot (0,,-1,,0,,1), onde a, b in R é o conjunto de todos os vetores da forma
W^perp = span, (-1, 0, 1, 0),; (0, -1, 0, 1) ,
Ou seja,

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