Questão(2,0pt): Seja
. Considere
. Determine
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço vetorial
e um subespaço
gerado pelos vetores
e
. Nosso objetivo é encontrar o
, que é o conjunto de todos os vetores em
que são perpendiculares a todos os vetores de
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como produto interno e solução de sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um vetor estar em
. Sejam
um vetor em
. Isso quer dizer que
é perpendicular a ambos os vetores que geram
. Ou seja:
Aqui, o
representa o produto interno (ou produto escalar) entre vetores.
Passo 3
Vamos calcular essas duas equações:
- Primeira equação:
- Segunda equação:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de
.
Da segunda equação:
Agora, substituímos
na primeira equação:
Passo 5
Agora, expressamos todas as variáveis em termos de
e
:
Podemos atribuir parâmetros para
e
. Vamos chamar:
Então, o vetor
fica:
Passo 6
Podemos expressar
como combinação linear dos vetores
e
:
Isso mostra que
é gerado por esses dois vetores.
Resposta
O ortogonal de
é o conjunto de todos os vetores da forma
Ou seja,