Seja definida por . Achar os valores próprios de A.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar os valores próprios da transformação linear definida em por .
Conteúdo da matéria: Estamos trabalhando com valores próprios e vetores próprios de uma matriz. Para encontrar os valores próprios, precisamos resolver a equação característica da matriz .
O que vamos precisar:
  1. Entender o que são valores próprios e vetores próprios.
  2. Saber como montar e resolver a equação característica .

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear como uma matriz. Dado que , podemos escrever a matriz de assim:
Cada entrada representa como cada componente contribui para o resultado da transformação.

Passo 3

Agora, para encontrar os valores próprios ( ), precisamos resolver a equação característica:
onde é a matriz identidade de mesma dimensão que , ou seja,

Passo 4

Vamos calcular :
Agora, precisamos encontrar o determinante dessa matriz.

Passo 5

Calculando o determinante de :
Podemos expandir esse determinante usando a regra de Sarrus ou cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus para facilitar.

Passo 6

Aplicando a regra de Sarrus:
Simplificando cada termo:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão:
Expandindo :
Simplificando termos semelhantes:
Ou seja,

Passo 8

Fatorando a expressão:
Para que o produto seja zero, pelo menos um dos fatores deve ser zero:

Passo 9

Resolvendo as equações:


Resposta

Os valores próprios de são (com multiplicidade 2) e .

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