Seja definida por . Achar os valores próprios de A.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar os valores próprios da transformação linear definida em por .
Conteúdo da matéria: Estamos trabalhando com valores próprios e vetores próprios de uma matriz. Para encontrar os valores próprios, precisamos resolver a equação característica da matriz .
O que vamos precisar:
Entender o que são valores próprios e vetores próprios.
Saber como montar e resolver a equação característica .
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação linear como uma matriz. Dado que , podemos escrever a matriz de assim:
Cada entrada representa como cada componente contribui para o resultado da transformação.
Passo 3
Agora, para encontrar os valores próprios (), precisamos resolver a equação característica:
onde é a matriz identidade de mesma dimensão que , ou seja,
Passo 4
Vamos calcular :
Agora, precisamos encontrar o determinante dessa matriz.
Passo 5
Calculando o determinante de :
Podemos expandir esse determinante usando a regra de Sarrus ou cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus para facilitar.
Passo 6
Aplicando a regra de Sarrus:
Simplificando cada termo:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão:
Expandindo :
Simplificando termos semelhantes:
Ou seja,
Passo 8
Fatorando a expressão:
Para que o produto seja zero, pelo menos um dos fatores deve ser zero:
Passo 9
Resolvendo as equações:
Resposta
Os valores próprios de são (com multiplicidade 2) e .