Seja A in L(R^3) definida por A(x, y, z)=(x+y+z, x+y+z, x+y+z). Achar os valores próprios de A.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar os valores próprios da transformação linear definida em por .
Conteúdo da matéria: Estamos trabalhando com valores próprios e vetores próprios de uma matriz. Para encontrar os valores próprios, precisamos resolver a equação característica da matriz .
O que vamos precisar:
  1. Entender o que são valores próprios e vetores próprios.
  2. Saber como montar e resolver a equação característica .

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear A = 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 como uma matriz. Dado que , podemos escrever a matriz de assim:
Cada entrada representa como cada componente contribui para o resultado da transformação.

Passo 3

Agora, para encontrar os valores próprios ( det(A - lambda I) = 0 ), precisamos resolver a equação característica:
I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
onde é a matriz identidade de mesma dimensão que , ou seja,

Passo 4

Vamos calcular A - lambda I = 1 - lambda & 1 & 1 1 & 1 - lambda & 1 1 & 1 & 1 - lambda :
Agora, precisamos encontrar o determinante dessa matriz.

Passo 5

Calculando o determinante de det(A - lambda I) = 1 - lambda & 1 & 1 1 & 1 - lambda & 1 1 & 1 & 1 - lambda :
Podemos expandir esse determinante usando a regra de Sarrus ou cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus para facilitar.

Passo 6

Aplicando a regra de Sarrus:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(1 - lambda)(1 - lambda) + 1 cdot 1 cdot 1 + 1 cdot 1 cdot 1 - 1 cdot (1 - lambda) cdot 1 - 1 cdot 1 cdot (1 - lambda) - (1 - lambda) cdot 1 cdot 1
Simplificando cada termo:
= (1 - lambda)^3 + 1 + 1 - (1 - lambda) - (1 - lambda) - (1 - lambda)

Passo 7

Vamos simplificar a expressão:
= (1 - lambda)^3 + 2 - 3(1 - lambda)
Expandindo = 1 - 3lambda + 3lambda^2 - lambda^3 + 2 - 3 + 3lambda :
= -lambda^3 + 3lambda^2 + 0lambda + 0
Simplificando termos semelhantes:
-lambda^3 + 3lambda^2 = 0
Ou seja,

Passo 8

Fatorando a expressão:
-lambda^3 + 3lambda^2 = -lambda^2(lambda - 3) = 0
Para que o produto seja zero, pelo menos um dos fatores deve ser zero:
lambda^2 = 0 ou lambda - 3 = 0

Passo 9

Resolvendo as equações:


Resposta

Os valores próprios de são (com multiplicidade 2) e .

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