Questão (2,0) Mostre que a função tal que , sendo , é uma norma. Mostre que ela não vem de um produto interno.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a função , onde , é uma norma em um espaço vetorial . Além disso, precisamos provar que essa norma não vem de um produto interno.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma norma e o que é um produto interno, e depois verificar se a função atende às propriedades de uma norma e se pode ou não ser derivada de um produto interno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma norma. Uma norma é uma função que atribui um número real não negativo a cada vetor de um espaço vetorial, e ela precisa satisfazer três propriedades:
Positividade e Definitude: e se e somente se é o vetor zero.
Homogeneidade absoluta: para qualquer escalar .
Desigualdade Triangular: para quaisquer vetores e .
A nossa função precisa satisfazer essas três propriedades para ser considerada uma norma.
Passo 3
Vamos verificar a positividade e definitude:
Positividade: Como estamos tomando o máximo entre os valores absolutos dos componentes de , e valores absolutos são sempre não negativos, temos .
Definitude: Se , isso significa que o máximo entre os valores absolutos dos componentes de é zero, ou seja, todos os . Portanto, é o vetor zero. E se é o vetor zero, claramente . Assim, a propriedade está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos para a homogeneidade absoluta:
Queremos mostrar que .
Calculando .
Portanto, a homogeneidade está comprovada.
Passo 5
Por último, vamos verificar a desigualdade triangular:
Queremos provar que .
Seja e . Então:
.
Pela desigualdade triangular dos valores absolutos, temos para cada componente .
Portanto, .
Assim, a desigualdade triangular também está satisfeita.
Passo 6
Com isso, mostramos que satisfaz todas as propriedades necessárias para ser uma norma.
Agora, vamos mostrar que essa norma não vem de um produto interno. Para isso, podemos usar a lei do paralelogramo, que é uma característica das normas derivadas de produtos internos. A lei do paralelogramo diz que para qualquer vetor e :
Vamos verificar se essa igualdade é válida para a nossa norma .
Passo 7
Vamos considerar vetores no para simplificar. Seja e .
Calculando e .
Agora, , então .
E , então .
Vamos verificar a lei do paralelogramo:
Por outro lado:
Claramente, , o que viola a lei do paralelogramo.
Resposta
Então, concluímos que a função é de fato uma norma, mas não pode ser derivada de um produto interno, já que não satisfaz a lei do paralelogramo.