Questão (2,0) Mostre que a função
tal que
, sendo
, é uma norma. Mostre que ela não vem de um produto interno.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a função
, onde
, é uma norma em um espaço vetorial
. Além disso, precisamos provar que essa norma não vem de um produto interno.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma norma e o que é um produto interno, e depois verificar se a função
atende às propriedades de uma norma e se pode ou não ser derivada de um produto interno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma norma. Uma norma é uma função que atribui um número real não negativo a cada vetor de um espaço vetorial, e ela precisa satisfazer três propriedades:
- Positividade e Definitude:
e se e somente se é o vetor zero. - Homogeneidade absoluta:
para qualquer escalar . - Desigualdade Triangular:
para quaisquer vetores e .
A nossa função
precisa satisfazer essas três propriedades para ser considerada uma norma.
Passo 3
Vamos verificar a positividade e definitude:
-
Positividade: Como estamos tomando o máximo entre os valores absolutos dos componentes de
, e valores absolutos são sempre não negativos, temos . -
Definitude: Se
, isso significa que o máximo entre os valores absolutos dos componentes de é zero, ou seja, todos os . Portanto, é o vetor zero. E se é o vetor zero, claramente . Assim, a propriedade está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos para a homogeneidade absoluta:
Queremos mostrar que
.
Calculando
.
Portanto, a homogeneidade está comprovada.
Passo 5
Por último, vamos verificar a desigualdade triangular:
Queremos provar que
.
Seja
e
. Então:
Pela desigualdade triangular dos valores absolutos, temos
para cada componente
.
Portanto,
.
Assim, a desigualdade triangular também está satisfeita.
Passo 6
Com isso, mostramos que
satisfaz todas as propriedades necessárias para ser uma norma.
Agora, vamos mostrar que essa norma não vem de um produto interno. Para isso, podemos usar a lei do paralelogramo, que é uma característica das normas derivadas de produtos internos. A lei do paralelogramo diz que para qualquer vetor
e
:
Vamos verificar se essa igualdade é válida para a nossa norma
.
Passo 7
Vamos considerar vetores no
para simplificar. Seja
e
.
Calculando
e
.
Agora,
, então
.
E
, então
.
Vamos verificar a lei do paralelogramo:
Por outro lado:
Claramente,
, o que viola a lei do paralelogramo.
Resposta
Então, concluímos que a função
é de fato uma norma, mas não pode ser derivada de um produto interno, já que não satisfaz a lei do paralelogramo.