Dê uma equação vetorial do plano pi que tem por equações paramétricas pi:lx=-6+lambda-gamma y=-1+7 lambda-14 gamma z=4-5 lambda+2 gamma (lambda, gamma in R)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um plano pi definido pelas equações paramétricas:
pi: l x = -6 + lambda - gamma y = -1 + 7lambda - 14gamma z = 4 - 5lambda + 2gamma
O que precisamos fazer é transformar essas equações paramétricas em uma equação vetorial do plano. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e álgebra vetorial, como vetores diretores e ponto no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar um ponto que está no plano. Olhando para as equações paramétricas, se colocarmos lambda = 0 e gamma = 0, encontramos o ponto:
P0 = (-6, -1, 4)
Esse é um ponto que definitivamente está no plano pi.

Passo 3

Agora, precisamos identificar os vetores diretores do plano. Esses vetores são os que acompanham os parâmetros lambda e gamma.
Para lambda, temos o vetor:
u = 1 7 -5
E para gamma, temos o vetor:
v = -1 -14 2
Esses vetores mostram como o plano se estende a partir do ponto P0.

Passo 4

Com o ponto P0 e os vetores diretores u e v, podemos escrever a equação vetorial do plano. A forma geral da equação vetorial é:
r = P0 + lambda u + gamma v
Onde r é um vetor posição qualquer no plano, e lambda, gamma são escalares que parametricamente definem todos os pontos do plano.

Passo 5

Substituindo os valores que encontramos:
r = -6 -1 4 + lambda 1 7 -5 + gamma -1 -14 2
Isso representa todos os pontos que estão no plano pi.

Resposta

A equação vetorial do plano pi é:
r = -6 -1 4 + lambda 1 7 -5 + gamma -1 -14 2

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