Dadas f(s, t, u, v) = s^2 + t^3 + u^4 + v^5, g(s, t, u, v) = s + t + u + v e phi(s, t, u, v) = sen(f) * cos(g), calcule phi_t e phi_u.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá três funções:
E pede para calcular as derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e .
Vamos precisar usar a regra da cadeia para derivar funções compostas, porque é uma combinação de funções que dependem de e , que por sua vez dependem de e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , denotada por .
Aplicamos a regra da cadeia:
Vamos calcular cada termo separadamente.

Passo 3

Calculando :
Calculando :

Passo 4

Calculando :
Calculando :

Passo 5

Agora, substituímos todos os termos na expressão da regra da cadeia:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , denotada por .
Aplicamos novamente a regra da cadeia:
Vamos calcular cada termo separadamente.

Passo 7

Calculando :
Calculando :

Passo 8

Substituindo os termos na expressão da regra da cadeia:
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais são:

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