Dadas f(s, t, u, v) = s^2 + t^3 + u^4 + v^5, g(s, t, u, v) = s + t + u + v e phi(s, t, u, v) = sen(f) * cos(g), calcule phi_t e phi_u.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá três funções:
E pede para calcular as derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e .
Vamos precisar usar a regra da cadeia para derivar funções compostas, porque é uma combinação de funções que dependem de e , que por sua vez dependem de e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , denotada por .
Aplicamos a regra da cadeia:
Vamos calcular cada termo separadamente.

Passo 3

Calculando :
Calculando :

Passo 4

Calculando :
Calculando :

Passo 5

Agora, substituímos todos os termos na expressão da regra da cadeia:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , denotada por .
Aplicamos novamente a regra da cadeia:
Vamos calcular cada termo separadamente.

Passo 7

Calculando :
Calculando :

Passo 8

Substituindo os termos na expressão da regra da cadeia:
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais são:

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Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície no ponto especificado: z = ln(2x + y), (-1, 3, 0)
Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície no ponto especificado:
(a) z = y^2 - x^2, (-4, 5, 9)
Use a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais indicadas das seguintes funções:
(a) u=x^2-y^2 ; x=3 r-s ; y=r+2 s ; partial upartial r ; partial upartial s.
Use a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais indicadas das seguintes funções: u=x^2+y^2+z^2 ; x=r sen phi cos theta ; y=r sen phi sen theta ; z=r cos phi ; partial upartial r ; partial upartial phi ; partial upartial theta.