Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície no ponto especificado:
(a)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar as equações do plano tangente e da reta normal à superfície no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, para encontrar a inclinação da superfície nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos dão as inclinações da superfície nas direções de e .
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a :
A derivada parcial em relação a :
Passo 4
Agora, avaliamos essas derivadas no ponto :
Passo 5
Com as derivadas parciais, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
onde é o ponto de tangência.
Passo 6
Substituindo os valores:
Simplificando a equação:
Passo 7
Para a reta normal, usamos o vetor normal ao plano tangente, que é dado pelas derivadas parciais:
A equação paramétrica da reta normal é:
onde são as componentes do vetor normal e é o parâmetro.
Passo 8
Substituindo os valores:
Resposta
A equação do plano tangente é e a equação paramétrica da reta normal é: