Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície no ponto especificado:
(a) z = y^2 - x^2, (-4, 5, 9)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar as equações do plano tangente e da reta normal à superfície no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, para encontrar a inclinação da superfície nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos dão as inclinações da superfície nas direções de e .

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a :
A derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, avaliamos essas derivadas no ponto :

Passo 5

Com as derivadas parciais, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
onde é o ponto de tangência.

Passo 6

Substituindo os valores:
Simplificando a equação:

Passo 7

Para a reta normal, usamos o vetor normal ao plano tangente, que é dado pelas derivadas parciais:
A equação paramétrica da reta normal é:
onde são as componentes do vetor normal e é o parâmetro.

Passo 8

Substituindo os valores:

Resposta

A equação do plano tangente é e a equação paramétrica da reta normal é:

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