Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície no ponto especificado: z = ln(2x + y), (-1, 3, 0)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a superfície dada pela equação e um ponto específico nessa superfície. O objetivo é encontrar:
  1. A equação do plano tangente à superfície nesse ponto.
  2. A equação da reta normal à superfície nesse mesmo ponto.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente o cálculo de derivadas parciais para determinar o plano tangente e a reta normal.

Passo 2

Vamos começar encontrando as derivadas parciais da função em relação a e . Essas derivadas nos ajudarão a determinar a inclinação da superfície nos eixos e .
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor dessas derivadas no ponto . Substituindo e naquelas expressões:
Para :
Para :

Passo 4

Com as derivadas parciais calculadas, podemos agora escrever a equação do plano tangente. A fórmula geral para o plano tangente à superfície no ponto é:
Substituindo os valores que temos:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos determinar a equação da reta normal à superfície no ponto dado. A reta normal é perpendicular ao plano tangente e passa pelo ponto . Para encontrar sua equação, precisamos do vetor normal ao plano tangente. Esse vetor é formado pelas derivadas parciais:
Usando o ponto e o vetor diretor, a equação paramétrica da reta normal é:
Onde e é o parâmetro.
Substituindo os valores:

Resposta

Equação do plano tangente:
Equação paramétrica da reta normal:

Exercícios relacionados

Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície no ponto especificado:
(a) z = y^2 - x^2, (-4, 5, 9)
Para as funções dadas a seguir, calcule as derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y : f(x, y)=sen x yy^2
Dadas f(s, t, u, v) = s^2 + t^3 + u^4 + v^5, g(s, t, u, v) = s + t + u + v e phi(s, t, u, v) = sen(f) * cos(g), calcule phi_t e phi_u.
Use a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais indicadas das seguintes funções:
(a) u=x^2-y^2 ; x=3 r-s ; y=r+2 s ; partial upartial r ; partial upartial s.