Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície no ponto especificado:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a superfície dada pela equação e um ponto específico nessa superfície. O objetivo é encontrar:
A equação do plano tangente à superfície nesse ponto.
A equação da reta normal à superfície nesse mesmo ponto.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente o cálculo de derivadas parciais para determinar o plano tangente e a reta normal.
Passo 2
Vamos começar encontrando as derivadas parciais da função em relação a e . Essas derivadas nos ajudarão a determinar a inclinação da superfície nos eixos e .
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor dessas derivadas no ponto . Substituindo e naquelas expressões:
Para :
Para :
Passo 4
Com as derivadas parciais calculadas, podemos agora escrever a equação do plano tangente. A fórmula geral para o plano tangente à superfície no ponto é:
Substituindo os valores que temos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos determinar a equação da reta normal à superfície no ponto dado. A reta normal é perpendicular ao plano tangente e passa pelo ponto . Para encontrar sua equação, precisamos do vetor normal ao plano tangente. Esse vetor é formado pelas derivadas parciais:
Usando o ponto e o vetor diretor, a equação paramétrica da reta normal é: