Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície no ponto especificado: z = sen(x+y), (1,-1,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Precisamos encontrar as equações do plano tangente e da reta normal à superfície dada por no ponto específico . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas parciais e vetores normais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um plano tangente. Ele é um plano que “encosta” na superfície no ponto dado e tem a mesma inclinação da superfície naquele ponto. Para encontrar a equação do plano tangente, precisamos das derivadas parciais da função em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
Essas derivadas nos dão a inclinação da superfície nas direções de e .

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :

Passo 5

Com as derivadas calculadas, podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Passo 6

Agora, para encontrar a reta normal, precisamos de um vetor normal ao plano tangente. Esse vetor é dado pelas derivadas parciais:
A equação paramétrica da reta normal passa pelo ponto e segue a direção de :
Onde é o parâmetro.

Resposta

As equações solicitadas são:
  • Plano Tangente:
  • Reta Normal:
Onde é um parâmetro real.

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