Dadas f(x) = x^3 + 2x - 1 e g(x) = 2 x + a, Determine o valor de a, para que f o g = g o f.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos duas funções: e . A gente precisa encontrar o valor de que faz com que a composição das funções seja igual em qualquer ordem, ou seja, . Para isso, vamos calcular as duas composições e igualar o resultado para descobrir o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . Isso significa substituir na função :

Passo 3

Agora, vamos expandir . Usando a fórmula do binômio de Newton:
Então, substituindo de volta na expressão de :

Passo 4

Agora, vamos calcular . Isso significa substituir na função :

Passo 5

Para que , as duas composições devem ser iguais para qualquer valor de . Então, igualamos as duas expressões:

Passo 6

Agora, vamos organizar os termos e igualar os coeficientes de cada potência de :
  • Termo :
    Isso já é uma contradição, o que nos mostra que, a princípio, não existe valor de que satisfaça a igualdade para esse termo.
  • Termo :
    Para que isso seja válido para qualquer , deve ser zero:
  • Termo :
    Se , isso se torna:
    O que está ok.
  • Termo constante:
    Substituindo :
    Outra contradição.

Passo 7

Observamos que mesmo com , ainda existe uma contradição nos termos constantes. Isso significa que não existe nenhum valor real de que faça com que para todas as potências de .

Resposta

Não existe valor de que satisfaz a condição .

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