A sequência definida por
é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos apresenta uma sequência definida por:
Nosso objetivo é descobrir se essa sequência converge (isto é, se ela se aproxima de um número específico à medida que avança) ou diverge (não se aproxima de nenhum número específico). Para isso, vamos utilizar conceitos de sequências numéricas e convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular alguns termos da sequência para observar o comportamento:
-
a₁ = 1
-
a₂ = 4 - a₁ = 4 - 1 = 3
-
a₃ = 4 - a₂ = 4 - 3 = 1
-
a₄ = 4 - a₃ = 4 - 1 = 3
-
a₅ = 4 - a₄ = 4 - 3 = 1
Vimos que os termos estão alternando entre 1 e 3.
Passo 3
Agora, vamos analisar o que isso significa para a convergência da sequência. Para uma sequência convergir, ela precisa se aproximar de um único valor conforme os termos aumentam. No nosso caso, os termos estão pulando entre 1 e 3 sem se estabilizar em um único número.
Além disso, podemos pensar em limites. Se a sequência tivesse um limite L, então esse limite deveria satisfazer a equação da sequência:
Resolvendo:
Isso sugere que, se a sequência convergir, o limite seria 2. Mas, como vimos nos termos calculados, a sequência nunca chega a 2; ela fica alternando entre 1 e 3. Portanto, ela não se aproxima de 2 nem de nenhum outro número específico.
Resposta
A sequência é divergente.
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Dadas
e
, Determine o valor de
, para que
.
Determine o conjunto solução de:
(d) ;
(d)
Classifique em Verdadeiro (V) ou Falso (F) as seguintes sentenças, justificando cada uma:
(j) .
(j)
Determine o domínio de :
(a)
(a)