Dadas as funções f(t)=(t, 1, t^2), g(t)=(t+1, t^2-4t-2, 5 t-4) e h(t)=(e^t, t^2+2,0), calcule:
lim t 0(f(t)-g(t))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Cálculo Vetorial juntos! A gente precisa calcular o limite da diferença entre duas funções vetoriais, f(t) e g(t), quando t se aproxima de 0. Pra isso, vamos precisar saber como subtrair funções vetoriais e aplicar limites em cada uma das componentes delas.

Passo 2

Primeiro, vamos subtrair as funções vetoriais f(t) e g(t) componente por componente. Ou seja, subtraímos cada parte correspondente das duas funções:
f(t) - g(t) = ( t - (t+1), 1 - t^2-4t-2, t^2 - (5t - 4) )

Passo 3

Agora, vamos simplificar cada uma dessas componentes:
  1. Primeira componente:
    t - (t+1) = t - t -1 = -1
  2. Segunda componente:
    1 - t^2-4t-2
    Vamos simplificar a fração:
    t^2-4t-2 = (t-2)(t+2)t-2 = t+2 (para t neq 2)
    Então:
    1 - (t+2) = 1 - t -2 = -t -1
  3. Terceira componente:
    t^2 - (5t - 4) = t^2 -5t +4

Passo 4

Agora, nossa função fica assim depois da subtração:
f(t) - g(t) = ( -1, -t -1, t^2 -5t +4 )

Passo 5

Vamos calcular o limite de cada componente quando t tende a 0:
  1. Primeira componente:
    limt to 0 -1 = -1
  2. Segunda componente:
    limt to 0 (-t -1) = -0 -1 = -1
  3. Terceira componente:
    limt to 0 (t^2 -5t +4) = 0 -0 +4 = 4

Resposta

Portanto, o limite é:
lim t 0(f(t)-g(t)) = ( -1, -1, 4 )

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