Dadas as funções f(t)=(t, 1, t^2), g(t)=(t+1, t^2-4t-2, 5 t-4) e h(t)=(e^t, t^2+2,0), calcule:
lim t 0(f(t)-h(t))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá três funções vetoriais: , e . A gente precisa calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Para isso, vamos usar o conceito de limite de funções vetoriais, que basicamente envolve calcular o limite de cada componente da função vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa subtrair duas funções vetoriais. Quando a gente tem , a subtração acontece componente a componente. Ou seja, se e , então .

Passo 3

Vamos aplicar isso às nossas funções. Temos:
f(t) - h(t) = (t - e^t, 1 - (t^2 + 2), t^2 - 0) = (t - e^t, -t^2 -1, t^2)

Passo 4

Agora, precisamos calcular o limite de cada componente quando se aproxima de 0:
Vamos resolver cada um separadamente.

Passo 5

Para a primeira componente: t - e^t = t - (1 + t + t^22 + dots) = -1 - t^22 - dots
Sabemos que limt to 0 (t - e^t) = -1 pode ser expandido em série de Taylor:
Portanto,
Quando , os termos dependentes de vão para 0, então:

Passo 6

Para a segunda componente: -0^2 -1 = -0 -1 = -1
Aqui, simplesmente substituímos limt to 0 (-t^2 -1) = -1 por 0:
Então,

Passo 7

Para a terceira componente: 0^2 = 0
Substituindo limt to 0 t^2 = 0 por 0:
Portanto,

Resposta

lim t 0(f(t)-h(t)) = (-1, -1, 0)

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