Dadas as funções
, calcule:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite quando
se aproxima de 0 do produto escalar das funções vetoriais
e
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de limites e produto escalar de vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o produto escalar entre dois vetores e depois aplicar o limite a cada componente resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o produto escalar entre dois vetores. Se temos dois vetores
e
, o produto escalar é dado por:
Então, nosso primeiro passo é calcular
.
Passo 3
Vamos escrever as funções vetoriais:
Agora, aplicando a fórmula do produto escalar:
Passo 4
Vamos simplificar cada termo separadamente:
-
-
Note que
pode ser fatorado como , então: -
Então, substituindo de volta:
Passo 5
Agora, precisamos calcular o limite dessa expressão quando
se aproxima de 0:
Para encontrar esse limite, substituímos
por 0 em cada termo: