Dadas as funções f(t)=(t, 1, t^2), g(t)=(t+1, t^2-4t-2, 5 t-4) e h(t)=(e^t, t^2+2,0), calcule:
lim t 0(f(t) cdot g(t))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite quando se aproxima de 0 do produto escalar das funções vetoriais e . Aqui, estamos trabalhando com cálculo de limites e produto escalar de vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o produto escalar entre dois vetores e depois aplicar o limite a cada componente resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o produto escalar entre dois vetores. Se temos dois vetores A cdot B = A1 cdot B1 + A2 cdot B2 + A3 cdot B3 e , o produto escalar é dado por:
Então, nosso primeiro passo é calcular .

Passo 3

Vamos escrever as funções vetoriais:
f(t) = (t, , 1, , t^2)
g(t) = (t+1, , t^2-4t-2, , 5t-4)
Agora, aplicando a fórmula do produto escalar:
f(t) cdot g(t) = t cdot (t+1) + 1 cdot (t^2-4t-2) + t^2 cdot (5t - 4)

Passo 4

Vamos simplificar cada termo separadamente:
  1. t^2-4t-2 = (t-2)(t+2)t-2 = t + 2 (desde que t neq 2)
  2. f(t) cdot g(t) = t^2 + t + t + 2 + 5t^3 - 4t^2 = 5t^3 - 3t^2 + 2t + 2
    Note que pode ser fatorado como , então:
Então, substituindo de volta:

Passo 5

Agora, precisamos calcular o limite dessa expressão quando limt to 0 (5t^3 - 3t^2 + 2t + 2) se aproxima de 0:
5(0)^3 - 3(0)^2 + 2(0) + 2 = 0 - 0 + 0 + 2 = 2
Para encontrar esse limite, substituímos por 0 em cada termo:

Resposta

limt 0(f(t) cdot g(t)) = 2

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