Dadas as funções f(t)=(t, 1, t^2), g(t)=(t+1, t^2-4t-2, 5 t-4) e h(t)=(e^t, t^2+2,0), calcule:
lim t 0(f(t) cdot h(t))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular o limite, quando se aproxima de 0, do produto escalar entre as funções vetoriais e . Aqui, estamos trabalhando com cálculo de limites e produto escalar de vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o produto escalar de dois vetores e como aplicar o limite em cada componente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o produto escalar entre dois vetores. Se temos dois vetores a cdot b = a1 cdot b1 + a2 cdot b2 + a3 cdot b3 e , o produto escalar é dado por:
Ou seja, multiplicamos as componentes correspondentes e somamos os resultados.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso às nossas funções vetoriais. Temos:
f(t) = (t, 1, t^2)
h(t) = (e^t, t^2 + 2, 0)
Então, o produto escalar f(t) cdot h(t) = t cdot e^t + 1 cdot (t^2 + 2) + t^2 cdot 0 fica:
f(t) cdot h(t) = t e^t + t^2 + 2
Simplificando:

Passo 4

Agora, precisamos calcular o limite dessa expressão quando limt to 0 (t e^t + t^2 + 2) se aproxima de 0:
Vamos calcular o limite de cada termo separadamente:

Passo 5

Somando os limites:
0 + 0 + 2 = 2

Resposta

O limite é igual a .

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