Dadas as funções f(t)=(t, 1, t^2), g(t)=(t+1, t^2-4t-2, 5 t-4) e h(t)=(e^t, t^2+2,0), calcule:
lim t 0(g(t) cdot h(t))

Passo 1

Beleza, vamos resolver um limite envolvendo o produto escalar de duas funções vetoriais. O enunciado nos dá três funções vetoriais, mas vamos focar nas funções g(t) e h(t). Nosso objetivo aqui é calcular o limite quando t se aproxima de 0 para o produto escalar dessas duas funções. Para isso, vamos precisar entender como calcular o produto escalar e depois aplicar o conceito de limite nessa expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o produto escalar entre duas funções vetoriais. Se tivermos duas funções vetoriais a(t) = (a1(t), a2(t), a3(t)) e b(t) = (b1(t), b2(t), b3(t)), o produto escalar a(t) cdot b(t) é dado por:
a(t) cdot b(t) = a1(t) cdot b1(t) + a2(t) cdot b2(t) + a3(t) cdot b3(t)

Passo 3

Vamos aplicar isso nas nossas funções g(t) e h(t):
g(t) = (t+1, t^2-4t-2, 5 t-4)
h(t) = (e^t, t^2+2, 0)
Calculando o produto escalar:
g(t) cdot h(t) = (t+1) cdot e^t + (t^2-4t-2) cdot (t^2+2) + (5 t - 4) cdot 0
Simplificando, já que o último termo é zero:
g(t) cdot h(t) = (t+1) e^t + (t^2-4t-2) (t^2+2)

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando t se aproxima de 0:
limt to 0 [ (t+1) e^t + (t^2-4t-2) (t^2+2) ]
Vamos calcular cada parte separadamente.
Primeiro, o limite de (t+1) e^t quando t to 0:
Sabemos que e^0 = 1, então:
limt to 0 (t+1) e^t = (0+1) cdot 1 = 1

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite da segunda parte: (t^2-4t-2) (t^2+2) quando t to 0.
Primeiro, simplificamos a fração t^2-4t-2. Notamos que t^2-4 pode ser fatorado como (t-2)(t+2):
t^2-4t-2 = (t-2)(t+2)t-2
Para t neq 2, podemos cancelar (t-2):
(t-2)(t+2)t-2 = t+2
Portanto, a expressão simplifica para:
(t+2)(t^2+2)
Agora, calculamos o limite dessa expressão quando t to 0:
limt to 0 (t+2)(t^2+2) = (0+2)(0+2) = 4

Resposta

Somando os dois limites calculados:
1 + 4 = 5
Portanto,
limt to 0 (g(t) cdot h(t)) = 5

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