Dadas as funções
, calcule:
Passo 1
Beleza, vamos resolver um limite envolvendo o produto escalar de duas funções vetoriais. O enunciado nos dá três funções vetoriais, mas vamos focar nas funções
e
. Nosso objetivo aqui é calcular o limite quando
se aproxima de 0 para o produto escalar dessas duas funções. Para isso, vamos precisar entender como calcular o produto escalar e depois aplicar o conceito de limite nessa expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o produto escalar entre duas funções vetoriais. Se tivermos duas funções vetoriais
e
, o produto escalar
é dado por:
Passo 3
Vamos aplicar isso nas nossas funções
e
:
Calculando o produto escalar:
Simplificando, já que o último termo é zero:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando
se aproxima de 0:
Vamos calcular cada parte separadamente.
Primeiro, o limite de
quando
:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite da segunda parte:
quando
.
Primeiro, simplificamos a fração
. Notamos que
pode ser fatorado como
:
Para
, podemos cancelar
:
Portanto, a expressão simplifica para:
Agora, calculamos o limite dessa expressão quando
:
Resposta
Somando os dois limites calculados:
Portanto,