Dadas as funções abaixo determine suas assíntotas vertical e horizontal e esboce seu gráfico: f(x)=(x^2-4)/(x-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar as assíntotas vertical e horizontal da função e esboçar o gráfico dela. Para isso, vamos precisar saber o que são assíntotas e como identificá-las nas funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a assíntota vertical. Essa assíntota ocorre quando o denominador da função é zero, mas o numerador não é. Então, vamos resolver :
Agora, vamos verificar o numerador em :
Como o denominador é zero e o numerador não é, temos uma assíntota vertical em .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a assíntota horizontal. Para funções racionais, comparamos os graus do numerador e do denominador:
  • Grau do numerador: 2 (porque )
  • Grau do denominador: 1 (porque )
Quando o grau do numerador é maior que o do denominador, a função não tem assíntota horizontal, mas sim uma assíntota oblíqua. Para encontrar essa assíntota, fazemos a divisão do numerador pelo denominador:
A parte é a equação da assíntota oblíqua. Portanto, a assíntota oblíqua é .

Passo 4

Agora que identificamos as assíntotas, vamos resumir:
  • Assíntota vertical em
  • Assíntota oblíqua em
Essas assíntotas ajudam a entender como o gráfico da função se comporta próximo desses valores.

Resposta

A função possui uma assíntota vertical em e uma assíntota oblíqua em .

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