Dadas as funções abaixo determine suas assíntotas vertical e horizontal e esboce seu gráfico:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de funções racionais! A gente precisa encontrar as assíntotas verticais e horizontais da função
e esboçar o gráfico dela. Para isso, vamos usar conceitos de limites e análise de comportamentos das funções quando
tende a determinados valores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a assíntota vertical. As assíntotas verticais acontecem onde o denominador da fração é zero, porque aí a função não está definida e “vai para o infinito”. Então, vamos resolver:
Então, a função tem uma assíntota vertical em
.
Passo 3
Agora, vamos achar a assíntota horizontal. Para funções racionais, se os graus do numerador e do denominador forem iguais, a assíntota horizontal é o quociente dos coeficientes dos termos de maior grau. Aqui, tanto o numerador quanto o denominador têm grau 1.
O coeficiente de
no numerador é 1 e no denominador também é 1, então:
Assim, a função tem uma assíntota horizontal em
.
Passo 4
Com as assíntotas encontradas, podemos esboçar o gráfico. A assíntota vertical em
indica que a função se aproxima desse valor de
sem nunca tocar. A assíntota horizontal em
mostra que, para valores muito grandes ou muito pequenos de
, a função se aproxima de 1. O gráfico vai cruzar o eixo
em
e terá um comportamento parecido com uma hipérbole, se aproximando das assíntotas sem nunca cruzá-las.
Resposta
A função
possui uma assíntota vertical em
e uma assíntota horizontal em
.
Exercícios relacionados
Dadas as funções abaixo determine suas assíntotas vertical e horizontal e esboce seu gráfico:
Determinar os limites laterais das funções abaixo e represente-as graficamente.
Dadas as funções abaixo determine suas assíntotas vertical e horizontal e esboce seu gráfico:
Dadas as funções abaixo determine suas assíntotas vertical e horizontal e esboce seu gráfico: