Dadas as funções abaixo determine suas assíntotas vertical e horizontal e esboce seu gráfico: f(x) = x / (x + 3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de funções racionais! A gente precisa encontrar as assíntotas verticais e horizontais da função e esboçar o gráfico dela. Para isso, vamos usar conceitos de limites e análise de comportamentos das funções quando tende a determinados valores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a assíntota vertical. As assíntotas verticais acontecem onde o denominador da fração é zero, porque aí a função não está definida e “vai para o infinito”. Então, vamos resolver:
Então, a função tem uma assíntota vertical em .

Passo 3

Agora, vamos achar a assíntota horizontal. Para funções racionais, se os graus do numerador e do denominador forem iguais, a assíntota horizontal é o quociente dos coeficientes dos termos de maior grau. Aqui, tanto o numerador quanto o denominador têm grau 1.
O coeficiente de no numerador é 1 e no denominador também é 1, então:
Assim, a função tem uma assíntota horizontal em .

Passo 4

Com as assíntotas encontradas, podemos esboçar o gráfico. A assíntota vertical em indica que a função se aproxima desse valor de sem nunca tocar. A assíntota horizontal em mostra que, para valores muito grandes ou muito pequenos de , a função se aproxima de 1. O gráfico vai cruzar o eixo em e terá um comportamento parecido com uma hipérbole, se aproximando das assíntotas sem nunca cruzá-las.

Resposta

A função possui uma assíntota vertical em e uma assíntota horizontal em .

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