Dadas as funções abaixo determine suas assíntotas vertical e horizontal e esboce seu gráfico: f(x) = 4 - 1/x

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para encontrar as assíntotas vertical e horizontal da função e esboçar o gráfico dela. Para isso, vamos precisar entender o que são assíntotas e como identificá-las em uma função racional. Uma assíntota vertical acontece onde a função não está definida (geralmente onde o denominador é zero) e a assíntota horizontal mostra o comportamento da função quando vai para infinito positivo ou negativo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a assíntota vertical. A assíntota vertical ocorre nos valores de que fazem o denominador da fração igual a zero, pois nesses pontos a função não está definida. Na nossa função, o denominador é .
Então, resolvemos:
Isso significa que temos uma assíntota vertical em .

Passo 3

Agora, vamos determinar a assíntota horizontal. A assíntota horizontal descreve o valor que se aproxima à medida que vai para ou . Para isso, observamos o comportamento da função conforme cresce ou diminui sem limite.
Nossa função é:
À medida que tende para ou , o termo se aproxima de zero. Portanto, se aproxima de:
Isso indica que a assíntota horizontal é .

Passo 4

Com as assíntotas identificadas, podemos esboçar o gráfico da função. Sabemos que a função tem uma divisão vertical em e se aproxima de quando vai para infinito positivo ou negativo. Além disso, vamos analisar alguns pontos para ajudar no desenho:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Com esses pontos e as assíntotas, o gráfico terá duas ramos: um à direita da assíntota vertical ( ) se aproximando de e outro à esquerda ( ) também se aproximando de .

Resposta

A função possui uma assíntota vertical em e uma assíntota horizontal em . O gráfico apresenta dois ramos que se aproximam da linha quando vai para e nunca cruzam a linha vertical .

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