Dadas as funções abaixo determine suas assíntotas vertical e horizontal e esboce seu gráfico:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para encontrar as assíntotas vertical e horizontal da função
e esboçar o gráfico dela. Para isso, vamos precisar entender o que são assíntotas e como identificá-las em uma função racional. Uma assíntota vertical acontece onde a função não está definida (geralmente onde o denominador é zero) e a assíntota horizontal mostra o comportamento da função quando
vai para infinito positivo ou negativo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a assíntota vertical. A assíntota vertical ocorre nos valores de
que fazem o denominador da fração igual a zero, pois nesses pontos a função não está definida. Na nossa função, o denominador é
.
Então, resolvemos:
Isso significa que temos uma assíntota vertical em
.
Passo 3
Agora, vamos determinar a assíntota horizontal. A assíntota horizontal descreve o valor que
se aproxima à medida que
vai para
ou
. Para isso, observamos o comportamento da função conforme
cresce ou diminui sem limite.
Nossa função é:
À medida que
tende para
ou
, o termo
se aproxima de zero. Portanto,
se aproxima de:
Isso indica que a assíntota horizontal é
.
Passo 4
Com as assíntotas identificadas, podemos esboçar o gráfico da função. Sabemos que a função tem uma divisão vertical em
e se aproxima de
quando
vai para infinito positivo ou negativo. Além disso, vamos analisar alguns pontos para ajudar no desenho:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Com esses pontos e as assíntotas, o gráfico terá duas ramos: um à direita da assíntota vertical (
) se aproximando de
e outro à esquerda (
) também se aproximando de
.
Resposta
A função
possui uma assíntota vertical em
e uma assíntota horizontal em
. O gráfico apresenta dois ramos que se aproximam da linha
quando
vai para
e nunca cruzam a linha vertical
.
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, encontre as assíntotas horizontais e represente graficamente.
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Usando a definição de limite prove:
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